Question

有一个单摆如图所示,其摆长为l="1.02" m,摆球的质量为m="0.1" kg,从与竖直方向夹角θ=4°的位置无初速度释放,问:

(1)已知振动的次数为n=30次,所用时间为t="60.8" s,重力加速度g等于多少?
(2)摆球的最大回复力是多少?
(3)摆球经过最低点时的速度为多大?
(4)摆球在最低点时悬线的拉力为多大?
(5)如果这个摆改为秒摆,摆长应该怎样改变?(已知:sin4°="0.069" 8,cos4°="0.997" 6,π=3.14)

Answer 1

(1)g="9.791 " m/s²
(2)F₁="0.068" N
(3)v="0.219" m/s
(4)F_T="0.52" N
(5)Δl=l-l₀="(1.02-0.993)" m="0.027" m.

(1)由于θ=4°<5°,所以单摆做的是简谐运动,其周期T="t/n=60.8/30" s="2.027" s,根据:
T=2π,可得:
g== m/s²="9.791" m/s².
(2)当摆球处在最大位移处时即处在C或B时回复力最大,如图当摆球在B点时,进行受力分析,重力沿切线方向的分力提供向心力,所以最大回复力为:
F₁=mgsin4°=0.1×9.791×0.069 8 N="0.068" N.
(3)摆球在摆动的过程中重力势能和动能相互转化,不考虑空气阻力,摆球的机械能是守恒的,其总的机械能E等于在最高点时的势能E_p或者等于在最低点时的动能E_k,设摆球在最低点时的速度等于v,则有:
mv²=mgl(1-cos4°)
即有:
v=
= m/s="0.219" m/s
(4)在最低点时,悬线和重力的合力提供摆球的向心力,所以,由F_T-mg=得,悬线的拉力为
F_T=mg+=0.1×10 N+ N="0.52" N.
(5)秒摆的周期T="2" s,设其摆长为l₀,根据:T=2π得T∶T₀=∶,所以有l₀== m="0.993" m,
所以其摆长要缩短:
Δl=l-l₀="(1.02-0.993)" m="0.027" m.