Question

14．如图所示，固定在竖直平面内的绝缘细半圆管轨道在C点与绝缘的水平地面平滑连接，半圆管的半径R=1.6m，管内壁光滑，两端口C，D连线沿竖直方向，CD右侧存在场强大小E=1.5×10³N/C、方向水平向左的匀强电场；水平面AB段表面光滑，长L₁=6.75m，BC段表面粗糙，长L₂=5.5m．质量m=2.0kg、电荷量q=0.01C的带正电小球在水平恒力F=10.0N的作用下从A点由静止升始运动，经过一段时间后撤去拉力F，小球进人半圆管后通过端口D时对圆管内轨道有竖直向下的压力N_D=15N．小球与水平面BC段之间的动摩擦因数u=0.2，取g=10m/s²．求：
（1）小球通过端口D时的速度大小v_D；
（2）小球通过半圆管中点P时与圆管的作用力大小N_P；
（3）撤去拉力F时小球的速度大小v₀．

Answer 1

分析 （1）在端口D，小球受到重力和支持力的合力提供向心力，由牛顿第二定律列式即可求解；
（2）从P到D的过程中由动能定理可得P点速度，在P点由牛顿第二定律列式求解；
（3）设F作用的距离为s，从A到D由动能定理列式求解s，在F作用的过程中，再由动能定理列式即可求解
撤去拉力F时小球的速度大小v₀．

解答 解：（1）在端口D由牛顿第二定律有mg-N_D=m$\frac{{{v}_{D}}^{2}}{R}$                              
解得：v_D=$\sqrt{\frac{（mg-{N}_{D}）R}{m}}$=2 m/s                             
（2）设小球经过半圆管中点P时的速度大小为v_P，从P到D的过程中由动能定理可得
qER-mgR=$\frac{1}{2}$mv_D²-$\frac{1}{2}$mv_P²
解得v_P=2$\sqrt{3}$ m/s       
在P点由牛顿第二定律有qE-N_P=m$\frac{{{v}_{P}}^{2}}{R}$                                       
解得N_P=0                                                                
（3）设F作用的距离为s，从A到D由动能定理有
Fs-μmgL₂-2mgR=$\frac{1}{2}$mv_D²                                                  
解得s=9 m                                                                
在F作用的过程中由动能定理得
Fs-μmg（s-L₁）=$\frac{1}{2}$mv₀²                                                     
解得v₀=9 m/s       
答：（1）小球通过端口D时的速度大小v_D为2m/s；
（2）小球通过半圆管中点P时与圆管的作用力大小N_P为0；
（3）撤去拉力F时小球的速度大小v₀为9m/s．

点评 本题考查了圆周运动与动能定理的综合，知道竖直平面内圆周运动向心力的来源，能选取合适的运动过程，应用动能定理求解，难度适中．