题目内容
（2013?普陀区二模）根据电磁学有关知识，在某一空间放一电荷量为Q的点电荷，设无穷远处电势为零，则距离点电荷为r的某点的电势公式为φ=k
，其中k为静电力常量．
（1）如图甲所示，在圆心处有一电荷量为+Q的点电荷，其等势面上a、b、c三点所在的圆半径分别为ra、rb和rc．试用题中公式证明：r越大，点电荷的等势面越稀，即rc-rb＞rb-ra．
（2）如图乙中虚线所示是电荷量分别为+Q和-Q的等势面，试用题中公式证明：中垂线上任意一点P的电势为零．
（3）若将两个点电荷构成如图丙所示的电偶极子模型（指电荷量为q、相距为l的一对正负点电荷组成的电结构），点电荷q0沿以电偶极子为中心、半径为R的半圆弧从A移动到B，试求q0受到的电场力所做的功为多大？
| Q | r |
（1）如图甲所示，在圆心处有一电荷量为+Q的点电荷，其等势面上a、b、c三点所在的圆半径分别为ra、rb和rc．试用题中公式证明：r越大，点电荷的等势面越稀，即rc-rb＞rb-ra．
（2）如图乙中虚线所示是电荷量分别为+Q和-Q的等势面，试用题中公式证明：中垂线上任意一点P的电势为零．
（3）若将两个点电荷构成如图丙所示的电偶极子模型（指电荷量为q、相距为l的一对正负点电荷组成的电结构），点电荷q0沿以电偶极子为中心、半径为R的半圆弧从A移动到B，试求q0受到的电场力所做的功为多大？
分析：（1）根据点电荷电势公式φ=k
以及φb-φa=φc-φb列式后分析求解；
（2）分别假设正负电荷单独存在，求出P点的电势，然后相加即可；
（3）先求解出A与B两点的电势，然后根据WAB=qUAB列式求解．
| Q |
| r |
（2）分别假设正负电荷单独存在，求出P点的电势，然后相加即可；
（3）先求解出A与B两点的电势，然后根据WAB=qUAB列式求解．
解答：解：（1）根据题意，a、b、c三点的电势分别为：φa=
，φb=
，φc=
因为 φb-φa=φc-φb
所以
-
=
-
即
=
，
=
由于rc＞ra，所以有rc-rb＞rb-ra
即离点电荷越远的地方，等差等势面应画的越稀．
（2）设两个电荷到P点的距离均为r，则
φp=
+
=0
（3）电偶极子在A、B两点的电势为：
φA=
+
，φB=
+
A、B两点的电势差为：UAB=φA-φB=
电场力做功为：W=qUAB=
答：（1）证明如上；
（2）证明如上；
（3）q0受到的电场力所做的功为
．
| kQ |
| ra |
| kQ |
| rb |
| kQ |
| rc |
因为 φb-φa=φc-φb
所以
| kQ |
| rb |
| kQ |
| ra |
| kQ |
| rc |
| kQ |
| rb |
即
| rb-ra |
| rbra |
| rc-rb |
| rcrb |
| rb-ra |
| rc-ra |
| ra |
| rc |
由于rc＞ra，所以有rc-rb＞rb-ra
即离点电荷越远的地方，等差等势面应画的越稀．
（2）设两个电荷到P点的距离均为r，则
φp=
| kQ |
| r |
| k(-Q) |
| r |
（3）电偶极子在A、B两点的电势为：
φA=
| kq | ||
R-
|
| k(-q) | ||
R+
|
| kq | ||
R+
|
| k(-q) | ||
R-
|
A、B两点的电势差为：UAB=φA-φB=
| 2kql | ||
R2-
|
电场力做功为：W=qUAB=
| 2kq0ql | ||
R2-
|
答：（1）证明如上；
（2）证明如上；
（3）q0受到的电场力所做的功为
| 2kq0ql | ||
R2-
|
点评：本题关键根据题意，得到单个点电荷和一对点电荷的空间任意一点的电势表达式，然后根据据WAB=qUAB列式求解．
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