Question

3．如图示，一个质量为M的匀质实心球，半径为R，如果从球上挖去一个直径为R的球，放在相距为d=2.5R的地方，分别求下列两种情况下挖去部分与剩余部分的万有引力大小．（答案必须用分式表示，已知G，M，R）

（1）从球的正中心挖去部分与剩余部分（图1）的万有引力为多少？
（2）从与球面相切处挖去部分与剩余部分（图2）的万有引力为多少？

Answer 1

分析 用没挖之前球对小球的引力，减去被挖部分对小球的引力，就是剩余部分对质点的引力．结合万有引力定律公式进行求解．

解答 解：（1）方法一：挖去的球的半径是大球半径的$\frac{1}{2}$，则m=$ρ\frac{4}{3}π{R}^{3}$知，质量m=$\frac{1}{8}M$．
没挖去前，重物对$\frac{1}{8}M$物体的万有引力${F}_{1}=G\frac{M•\frac{1}{8}M}{{d}^{2}}$=$\frac{G{M}^{2}}{50{R}^{2}}$，
挖去部分对$\frac{1}{8}M$的万有引力${F}_{2}=G\frac{\frac{1}{8}M×\frac{1}{8}M}{{d}^{2}}$，
则从球的正中心挖去部分与剩余部分的万有引力为$F={F}_{1}-{F}_{2}=\frac{7G{M}^{2}}{64{d}^{2}}$=$\frac{7G{M}^{2}}{400{R}^{2}}$．
方法二：直接根据万有引力定律公式得，F=$G\frac{\frac{7}{8}M×\frac{1}{8}M}{{d}^{2}}=\frac{7G{M}^{2}}{64{d}^{2}}$=$\frac{7G{M}^{2}}{400{R}^{2}}$．
（2）没挖去前，重物对$\frac{1}{8}M$物体的万有引力${F}_{1}=G\frac{M•\frac{1}{8}M}{{d}^{2}}$=$\frac{G{M}^{2}}{50{R}^{2}}$，
挖去部分对$\frac{1}{8}M$物体万有引力${F}_{2}′=G\frac{\frac{1}{8}M×\frac{1}{8}M}{（d-\frac{1}{4}R）^{2}}=\frac{{M}^{2}}{144{R}^{2}}$G．
则从与球面相切处挖去部分与剩余部分的万有引力$F′={F}_{1}-{F}_{2}′=\frac{G{M}^{2}}{50{R}^{2}}-\frac{G{M}^{2}}{144{R}^{2}}$=$\frac{103G{M}^{2}}{6400{R}^{2}}$．
答：（1）从球的正中心挖去部分与剩余部分的万有引力为$\frac{7G{M}^{2}}{400{R}^{2}}$．
（2）从与球面相切处挖去部分与剩余部分的万有引力为$\frac{103G{M}^{2}}{6400{R}^{2}}$．

点评 本题的关键就是要对挖之前的引力和挖去部分的引力计算，因为挖去后重心还在圆心，也可以通过万有引力定律公式直接求解，注意若不在圆心处挖去，不能运用公式直接去计算剩余部分的引力，因为那是一个不规则球体．