题目内容
如图所示，AB是倾角为θ的粗糙直轨道，BCD是光滑的圆弧轨道，AB恰好在B点与圆弧相切，圆弧的半径为R．一个质量为m的物体（可以看作质点）从直轨道上的P点由静止释放，结果它能在两轨道间做往返运动．已知P点与圆弧的圆心O等高，物体与轨道AB间的动摩擦因数为μ．求：（1）物体做往返运动的整个过程中在AB轨道上通过的总路程；
（2）最终当物体通过圆弧轨道最低点E时，对圆弧轨道的压力；
（3）为使物体能顺利到达圆弧轨道的最高点D，释放点距B点的距离L′应满足什么条件？
分析：①利用动能定理求摩擦力做的功；
②对圆周运动条件的分析和应用；
③圆周运动中能过最高点的条件．
②对圆周运动条件的分析和应用；
③圆周运动中能过最高点的条件．
解答：解：（1）因为摩擦始终对物体做负功，所以物体最终在圆心角为2θ的圆弧上往复运动．
对整体过程由动能定理得
mgR?cosθ-μmgcosθ?x=0
所以总路程为x=
．
（2）对B→E过程，由动能定理得
mgR（1-cosθ）=
mvE2-------------------①
FN-mg=m
------------------②
由①②得对轨道压力：FN=（3-2cosθ）mg．
（3）设物体刚好到D点，则由向心力公式得
mg=m
------------------③
对全过程由动能定理得
mgL′sinθ-μmgcosθ?L′-mgR（1+cosθ）=
mvD2-----------------------④
由③④得最少距离L′=
?R．
故答案为：（1）在AB轨道上通过的总路程为x=
．
（2）对圆弧轨道的压力为（3-2cosθ）mg
（3）释放点距B点的距离L′至少为
?R．
对整体过程由动能定理得
mgR?cosθ-μmgcosθ?x=0
所以总路程为x=
| R |
| μ |
（2）对B→E过程，由动能定理得
mgR（1-cosθ）=
| 1 |
| 2 |
FN-mg=m
| ||
| R |
由①②得对轨道压力：FN=（3-2cosθ）mg．
（3）设物体刚好到D点，则由向心力公式得
mg=m
| ||
| R |
对全过程由动能定理得
mgL′sinθ-μmgcosθ?L′-mgR（1+cosθ）=
| 1 |
| 2 |
由③④得最少距离L′=
| 3+2cosθ |
| 2sinθ-2μcosθ |
故答案为：（1）在AB轨道上通过的总路程为x=
| R |
| μ |
（2）对圆弧轨道的压力为（3-2cosθ）mg
（3）释放点距B点的距离L′至少为
| 3+2cosθ |
| 2sinθ-2μcosθ |
点评：本题综合应用了动能定理求摩擦力做的功、圆周运动及圆周运动中能过最高点的条件，对动能定理、圆周运动部分的内容考查的较全，是圆周运动部分的一个好题．
练习册系列答案
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