Question

6．如图所示，在边长为L的等边三角形ACD区域内，存在磁感应强度B、方向垂直纸面向外的匀强磁场．现有一束质量为m，电荷量为+q的带电粒子，以某一速度从AC边中点P、平行于CD边垂直磁场射入，粒子的重力可忽略不计．
（1）若粒子进入磁场时的速度大小为v₀，求粒子在磁场中运动的轨道半径；
（2）若粒子能从AC边飞出磁场，求粒子在磁场中的运动时间；
（3）为使粒子能从CD边飞出磁场，粒子进入磁场时的速度大小应满足的条件？

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律，由洛伦兹力提供向心力，则即可求解；
（2）根据题意，作出运动轨迹，由几何关系，求出圆心角，算出运动的时间；
（3）粒子恰从CD边出磁场，根据几何关系，则可确定各自运动的半径．从而求出对应的速度，确定结果．

解答 解：（1）设粒子在磁场中运动的轨道半径为r，
由牛顿第二定律得：qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$，解得：r=$\frac{m{v}_{0}}{qB}$；    
（2）从AC边出磁场如图所示：

圆心角：θ=$\frac{4π}{3}$，
粒子在磁场中做圆周运动的周期公式：T=$\frac{2πm}{qB}$，
则有运动的时间为：t=$\frac{θ}{2π}$T=$\frac{4πm}{3qB}$；
（3）设粒子从CD边飞出磁场的最小半径为r₁，对应最小速度为v₁，则
r₁=$\frac{L}{4}$sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{8}$L，由牛顿第二定律得：qv₁B=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{{r}_{1}}$，解得：v₁=$\frac{\sqrt{3}qBL}{8m}$，
设粒子能从D点飞出磁场，对应的半径为r₂，速度为v₂，圆心角为α，则
r₂²=（L-$\frac{L}{4}$）²+（r₂-$\frac{\sqrt{3}L}{4}$）²，sinα=$\frac{3L}{4{r}_{2}}$，解得：r₂=$\frac{\sqrt{3}}{2}$L，α=60°，
由几何关系可知，粒子能从D点飞出磁场，且飞出时速度方向沿AD方向
由牛顿第二定律得：qv₂B=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{{r}_{2}}$，解得：v₂=$\frac{\sqrt{3}qBL}{2m}$，
所以速度大小应满足的条件：$\frac{\sqrt{3}qBL}{8m}$＜v＜$\frac{\sqrt{3}qBL}{2m}$；
答：（1）若粒子进入磁场时的速度大小为v₀，粒子在磁场中运动的轨道半径为$\frac{m{v}_{0}}{qB}$；
（2）若粒子能从AC边飞出磁场，粒子在磁场中的运动时间为$\frac{4πm}{3qB}$；
（3）为使粒子能从CD边飞出磁场，粒子进入磁场时的速度大小应满足的条件是：$\frac{\sqrt{3}qBL}{8m}$＜v＜$\frac{\sqrt{3}qBL}{2m}$．

点评 解决本题的关键是正确的确定从CD边射出的两个临界点，最右边是从D射出，但最左边不是从C射出，而是与下边界相切为临界．