Question

18．车站、码头、机场等使用的货物安检装置的示意图如图所示，绷紧的传送带始终保持v=1m/s的恒定速率运行，AB为传送带水平部分且长度L=2m，现有一质量为m=1kg的背包（可视为质点）无初速度的放在水平传送带的A端，传送到B端时没有被及时取下，背包从B端沿倾角为37°的斜面滑入储物槽，已知背包与传送带的动摩擦因数μ₁=0.5，背包与斜面间的动摩擦因数μ₂=0.8，不计空气阻力（g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）．求：

（1）背包对于传送带的相对位移的大小；
（2）由于放了背包，带动传送带的电动机多消耗的电能；
（3）若B轮的半径为R=0.2m，求背包运动到B点时对传送带的压力的大小；
（4）为了减少对背包的损害，要求背包滑到储物槽时的速度刚好为零，求斜面的长度．

Answer 1

分析 （1）背包放在A点后在滑动摩擦力的作用下做匀加速运动，根据牛顿第二定律和速度公式结合求得匀加速运动的时间，由位移公式求出背包和传送带的位移，两者位移之差等于背包对于传送带的相对位移．
（2）由于放了背包，带动传送带的电动机多消耗的电能等于背包和传送带间的摩擦生热和背包获得的动能之和，根据能量守恒定律求解．
（3）背包在B点，由合力提供向心力，由牛顿定律求背包对传送带的压力．
（4）背包在斜面上做匀减速运动，到达储物槽时的速度刚好为零，根据牛顿第二定律和位移公式求解斜面的长度．

解答 解：（1）背包在水平传送带上由滑动摩擦力产生加速度，由牛顿第二定律得 μ₁mg=ma₁．
背包达到传送带的速度所用时间 t₁=$\frac{v}{{a}_{1}}$=$\frac{v}{{μ}_{1}g}$=$\frac{1}{0.5×10}$=0.2s
背包达到传送带的速度时对地位移 x₁=$\frac{1}{2}{a}_{1}{t}_{1}^{2}$
联立解得 x₁=0.1m＜L=2m
共速后背包与传送带相对静止，没有相对位移，所以背包对于传送带的相对位移为△x=vt₁-x₁=1×0.2-0.1=0.1m
（2）背包和传送带间的摩擦生热 Q=μ₁mg△x
背包获得的动能 E_k=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
所以电动机多消耗的电能为 E=Q+E_k．
解得 E=1J
（3）背包在B点受到重力和支持力的作用，由牛顿第二定律得
   mg-N=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
解得 N=5N
根据牛顿第三定律知：背包对传送带的压力大小 N′=N=5N，方向竖直向下．
（4）背包在斜面上受到重力、支持力和滑动摩擦力，沿斜面向下做匀减速直线运动，由牛顿第二定律得
    μ₂mgcos37°-mgsin37°=ma₂．
要使它到达底端时的速度恰好为0，则有 0-v²=-2a₂x
解得 x=1.25m
所以斜面的长度是1.25m．
答：
（1）背包对于传送带的相对位移的大小是0.1m；
（2）由于放了背包，带动传送带的电动机多消耗的电能是1J；
（3）若B轮的半径为R=0.2m，求背包运动到B点时对传送带的压力的大小是5N；
（4）为了减少对背包的损害，要求背包滑到储物槽时的速度刚好为零，斜面的长度是1.25m．

点评 解决本题的关键是分析清楚背包的运动情况，知道摩擦生热与相对位移有关．对于背包在斜面上运动的过程，也可以根据动能定理求斜面的长度．