题目内容

如图所示,一质量M=1.0kg的砂摆,用轻绳悬于天花板上O点.另有一玩具枪能连续发射质量m=0.01kg,速度v=4.0m/s的小钢珠.现将砂摆拉离平衡位置,由高h=0.20m处无初速度释放,恰在砂摆向右摆到最低点时,玩具枪发射的第一颗小钢珠水平向左射入砂摆,二者在极短时间内达到共同速度.不计空气阻力,取g=10m/s2
(1)求第一颗小钢珠射入砂摆前的瞬间,砂摆的速度大小v0
(2)求第一颗小钢珠射入砂摆后的瞬间,砂摆的速度大小v1
(3)第一颗小钢珠射入后,每当砂摆向左运动到最低点时,都有一颗同样的小钢珠水平向左射入砂摆,并留在砂摆中.当第n颗小钢珠射入后,砂摆能达到初始释放的高度h,求n.
(1)砂摆从释放到最低点,由动能定理:
Mgh=
1
2
Mv02-0,解得:v0=
2gh
=2m/s;
(2)小钢球打入砂摆过程系统动量守恒,选向右为正方向,
由动量守恒定律得:Mv0-mv=(M+m)v1
解得:v1=
Mv0-mv
M+m
≈1.94m/s;
(3)第2颗小钢球打入过程,选向左为正方向,
由动量守恒定律得:(M+m)v1+mv=(M+2m)v2
第3颗小钢球打入过程,同理可得:
(M+2m)v2+mv═(M+3m)v3

第n颗小钢球打入过程,同理可得:
[M+(n-1)m]vn-1+mv=(M+nm)vn
联立各式得:(M+m)v1+(n-1)mv=(M+nm)vn
解得:vn=
(M+m)v1+(n-1)mv
M+nm

当第n颗小钢球射入后,砂摆要能达到初始释放的位置,
砂摆速度满足:vn≥v0
解得:n≥
(M+m)v1-mv-Mv0
m(v0-v)
=4,
所以,当第4颗小钢球射入砂摆后,砂摆能达到初始释放的高度.
答:(1)第一颗小钢珠射入砂摆前的瞬间,砂摆的速度为2m/s.
(2)第一颗小钢珠射入砂摆后的瞬间,砂摆的速度大小为1.94m/s.
(3)当第4颗小钢球射入砂摆后,砂摆能达到初始释放的高度.
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