Question

匀强电场的方向沿x轴正方向，电场强度E随x的分布如图所示，图中E₀和d均为已知量．将带正电的质点A在O点由静止释放．A离开电场足够远后，再将另一带正电的质点B放在O点也由静止释放．当B在电场中运动时，A、B间的相互作用力及相互作用能均为零；B离开电场后，A、B间的相互作用视为静电作用．已知A的电荷量为Q，A和B的质量分别为m和．不计重力．
（1）求A在电场中的运动时间t；
（2）若B的电荷量为q=Q，求两质点相互作用能的最大值E_pm；
（3）为使B离开电场后不改变运动方向，求B所带电荷量的最大值q_m．

Answer 1

（1）（2）E_pm=QE₀d（3）q_m=Q

试题分析：（1）由牛顿第二定律，A在电场中运动的加速度a==
A在电场中做匀变速直线运动           d=at²
解得运动时间                         t==
（2）设A、B离开电场时的速度分别为υ_A0、υ_B0，由动能定理，有
QE₀d=m，QE₀d=          ①
A、B相互作用过程中，动量和能量守恒．A、B相互作用力为斥力，A受的力与其运动方向相同，B受的力与其运动方向相反，相互作用力对A做正功，对B做负功．A、B靠近的过程中，B的路程大于A的路程，由于相互作用力大小相等，相互作用力对B做功的绝对值大于对A做功的绝对值，因此相互作用力做功之和为负，相互作用能增加．所以，当A、B最接近时相互作用能最大，此时两者速度相同，设为υ′，有
(m+)υ′= mυ_A0+υ_B0                  ②
E_pm=(m+)-(m+)υ′²   ③
已知q =Q，由①、②、③式解得
相互作用能的最大值                   E_pm=QE₀d
（3）考虑A、B在x>d区间的运动，由动量守恒、能量守恒，且在初态和末态均无相互作用，有
mυ_A+υ_B= mυ_A0+υ_B0                  ④
m+=m+     ⑤     由④、⑤解得  υ_B=-υ_B0+υ_A0
因B不改变运动方向，故  υ_B=-υ_B0+υ_A0 ≥0                      ⑥
由①、⑥解得     q≤Q
即B所带电荷量的最大值q_m=Q
点评：：带电粒子在电场中的运动，综合了静电场和力学的知识，分析方法和力学的分析方法基本相同．先分析受力情况再分析运动状态和运动过程（平衡、加速、减速，直 线或曲线），然后选用恰当的规律解题．解决这类问题的基本方法有两种，第一种利用力和运动的观点，选用牛顿第二定律和运动学公式求解；第二种利用能量转化 的观点，选用动能定理和功能关系求解．