Question

9．如图所示，质量均为1kg的滑块A和木板B最初静止在带有挡板的粗糙斜面的底端，斜面倾角为θ=37°，现用大小为14N的力F沿斜面向上拉木板B，在力F作用的同时，给滑块A一个沿斜面向上的初速度v₀=6m/s，若A与B间的滑动摩擦系数为μ₁=$\frac{1}{4}$，木板B与斜面间的摩擦系数为μ₂=$\frac{1}{2}$，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取g=10m/s²，斜面和木板足够长，（sin37°=0.6，cos37°=0.8）求：
（1）从力F作用于木板B开始计时，经过多少时间A和木板B速度相等？
（2）当A和木板B速度相等时，撤去外力F，问A相对木板B向上滑行的最大距离？
（3）当A到达木板B最远位置后，再经过多少时间，A从木板B的左端滑下？（结果可以保留根号）

Answer 1

分析 （1）分别对A和B进行受力分析，然后由牛顿第二定律求出它们各自 的加速度，最后由速度公式即可求出时间；
（2）撤去外力F后，分别对A和B进行受力分析，然后由牛顿第二定律求出它们各自 的加速度，确定B在速度为0后是否能够静止，再求出A相对木板B向上滑行的最大距离；
（3）先讨论A向下运动时，B是否能够向下运动，然后又位移公式即可求出时间．

解答 解：（1）开始时A向上的速度大于B向上的速度，所以A受到的摩擦力的方向向下，设A与B的质量都是m=1kg，选取沿斜面向上的方向为正，沿斜面方向：
ma₁=-mgsinθ-μ₁mgcosθ
代入数据解得：${a}_{1}=-8m/{s}^{2}$
B受到A对B的向上的摩擦力和斜面对B的向下的摩擦力、重力、支持力．A对B的压力，如图，则：
垂直于斜面的方向：N₂=N₁+mgcosθ=mgcosθ+mgcosθ=2mgcosθ
沿斜面的方向：F-mgsinθ+μ₁mgcosθ-μ₂•N₂=ma₂
代入数据得：${a}_{2}=2m/{s}^{2}$
A与B速度相等时：v₀+a₁t=a₂t
得：t=0.6s
（2）在撤去拉力后，A与B的速度：v₁=a₂t=2×0.6=1.2m/s
若A仍然相对于B向上运动，则：-mgsinθ+μ₁mgcosθ-μ₂•N₂=ma₃
代入数据得：${a}_{3}=-12m/{s}^{2}$
B向下的加速度大于A向下的加速度，所以A仍然相对于B向上运动，B将先停下，B后停下，B停止后的假设受到的斜面的摩擦力的方向向上，若能静止则：
f=mgsinθ-μ₁mgcosθ=$m×10×0.6-\frac{1}{4}×m×10×0.8$=4m＜${μ}_{2}{N}_{2}=\frac{1}{2}×2m×10×0.8=8m$
所以B停止后，A上升的过程中B静止不动，A向上的加速度不变，则：
${2{a}_{1}x}_{A}=0-{v}_{1}^{2}$，${2{a}_{3}x}_{B}=0-{v}_{1}^{2}$
A向上的位移：${x}_{A}=\frac{0-1．{2}^{2}}{2×（-8）}=0.09$m
B向上的位移：${x}_{B}=\frac{0-1．{2}^{2}}{2×（-12）}=0.06$m
A相对木板B向上滑行的最大距离是：$△x={{v}_{0}t+\frac{1}{2}{a}_{1}{t}^{2}+x}_{A}-\frac{1}{2}{a}_{2}{t}^{2}-{x}_{B}$
代入数据得：△x=1.83m
（3）A向下运动的过程中，假设B受到A的向下的摩擦力，则有：
f′=mgsinθ+μ₁mgcosθ=$m×10×0.6+\frac{1}{4}×m×10×0.8=10m$＞${μ}_{2}{N}_{2}=\frac{1}{2}×2m×10×0.8=8m$
B将向下运动，设B向下的加速度a₃，则有：-f′+μ₂N=ma₃
代入数据得：${a}_{3}=-2m/{s}^{2}$
A向下运动的过程中受到B对A的向上的摩擦力，则：
-mgsinθ+μmgcosθ=ma₄
代入数据得：${a}_{4}=-4m/{s}^{2}$
设经过时间t1A滑到B的下端，则：$-△x=\frac{1}{2}{a}_{4}{t}_{1}^{2}-\frac{1}{2}{a}_{3}{t}_{1}^{2}$
代入数据得：${t}_{1}=\sqrt{1.83}$s
答：（1）从力F作用于木板B开始计时，经过0.6s时间A和木板B速度相等；
（2）当A和木板B速度相等时，撤去外力F，A相对木板B向上滑行的最大距离是1.83m；
（3）当A到达木板B最远位置后，再经过$\sqrt{1.83}$s时间，A从木板B的左端滑下．

点评 该题是牛顿第二定律的应用中多物体、多过程的运动类型，而且B物体运动的情况是不确定的，在解答的过程中要对B的可能的情况进行一定的讨论，这是该题解答的难点所在．