Question

19．如图甲，单匝圆形线圈c与电路连接，电阻R₂两端与平行光滑金属直导轨p₁e₁f₁、p₂e₂f₂连接．垂直于导轨平面向下、向上有矩形匀强磁场区域Ⅰ、Ⅱ，它们的边界为e₁e₂，区域Ⅰ中垂直导轨并紧靠e₁e₂平放一导体棒ab．两直导轨分别与同一竖直平面内的圆形光滑绝缘导轨o₁、o₂相切连接，o₁、o₂在切点f₁、f₂处开有小口可让ab进入，ab进入后小口立即闭合．
已知：o₁、o₂的直径和直导轨间距均为d，c的直径为2d；电阻R₁、R₂的阻值均为R，其余电阻不计；直导轨足够长且其平面与水平面夹角为60°，区域Ⅰ的磁感强度为B₀．重力加速度为g．在c中边长为d的正方形区域内存在垂直线圈平面向外的匀强磁场，磁感强度B随时间t变化如图乙所示，ab在t=0～$\sqrt{\frac{2d}{g}}$内保持静止．
（1）求ab静止时通过它的电流大小和方向；
（2）求ab的质量m；
（3）设ab进入圆轨道后能达到离f₁f₂的最大高度为h，要使ab不脱离圆形轨道运动，求区域Ⅱ的磁感强度B₂的取值范围并讨论h与B₂的关系式．

Answer 1

分析 （1）ab静止时，由法拉第电磁感应定律求出c内感生电动势的大小，由欧姆定律求出电流的大小，由楞次定律判断电流的方向．
（2）ab静止时受力平衡，重力沿导轨向下的分力与安培力二力平衡，由平衡条件列式可求ab的质量．
（3）由题意知t=$\sqrt{\frac{2d}{g}}$后，c内的磁感强度减为零，ab滑入区域Ⅱ磁场，由于此段足够长，ab最终应做匀速直线运动，由平衡条件可求出其匀速运动的速度表达式．要使ab不脱离圆形轨道运动，有两种情况：ab滑不过圆心等高点或者滑过圆轨道最高，根据机械能守恒定律和圆周运动最高点的临界条件结合解答．

解答 解：（1）由法拉第电磁感应定律得c内感生电动势 E=S$\frac{△B}{△t}$=d²•${B}_{0}\sqrt{\frac{g}{2d}}$①
由全电路欧姆定律有 E=IR  ②（R₂被ab短路）
联立①②解得：I=$\frac{d{B}_{0}}{R}$$\sqrt{\frac{gd}{2}}$=$\frac{d{B}_{0}}{2R}$$\sqrt{2gd}$ ③
根据楞次定律和右手螺旋定则（或者平衡条件和左手定则）判断知ab中电流方向为a→b ④
（2）由题意可知导轨平面与水平面夹角为 θ=60°，
对在t=0～$\sqrt{\frac{2d}{g}}$内静止的ab受力分析有 mgsinθ=B₀Id ⑤
联立③⑤解得：m=$\frac{{d}^{2}{B}_{0}^{2}}{gR}$$\sqrt{\frac{2}{3}gd}$=$\frac{{d}^{2}{B}_{0}^{2}}{3gR}$$\sqrt{6gd}$   ⑥
（3）由题意知t=$\sqrt{\frac{2d}{g}}$后，c内的磁感强度减为零，ab滑入区域Ⅱ，
由直导轨足够长可知ab进入圆形轨道时已达匀速直线运动，
设此时ab为v，其电动势为E₂，电流为I₂，
由平衡条件得 mgsinθ=B₂I₂d    ⑦
由法拉第电磁感应定律得动生电动势 E₂=B₂dv ⑧
由全电路欧姆定律有   E₂=${I}_{2}•\frac{R}{2}$  ⑨（R₁、R₂并联）
联立⑥⑦⑧⑨解得 v=$\frac{{B}_{0}^{2}}{{B}_{2}^{2}}$$\sqrt{\frac{gd}{8}}$=$\frac{{B}_{0}^{2}}{{4B}_{2}^{2}}$$\sqrt{2gd}$  ⑩
由题意可知ab滑不过圆心等高点或者滑过圆轨道最高点均符合题意，分类讨论如下：
（ⅰ）当$\frac{1}{2}m{v}^{2}≤$mg$\frac{d}{2}cosθ$  即 B₂≥$\frac{\sqrt{2}}{2}{B}_{0}$时，
ab上滑过程由动能定理得 mgh=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$，即h=$\frac{d{B}_{0}^{4}}{16{B}_{2}^{4}}$
（ⅱ） 设ab能滑到圆轨道最高点时速度为v₁，根据牛顿第二定律应满足 mg≤$\frac{m{v}_{1}^{2}}{\frac{d}{2}}$
所以当$\frac{1}{2}m{v}^{2}$-mg$\frac{d}{2}$（1+cosθ）≥$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$ 即B₂≤$\frac{1}{2}{B}_{0}$时，
ab能滑到圆轨道最高点，有 h=$\frac{d}{2}（1+cosθ）$=$\frac{3d}{4}$．
答：
（1）ab静止时通过它的电流大小为$\frac{d{B}_{0}}{2R}$$\sqrt{2gd}$，ab中电流方向为a→b；
（2）ab的质量m为$\frac{{d}^{2}{B}_{0}^{2}}{3gR}$$\sqrt{6gd}$；
（3）（ⅰ）当B₂≥$\frac{\sqrt{2}}{2}{B}_{0}$时，h为$\frac{d{B}_{0}^{4}}{16{B}_{2}^{4}}$．（ⅱ） 当B₂≤$\frac{1}{2}{B}_{0}$时，ab能滑到圆轨道最高点，h为$\frac{3d}{4}$．

点评 本题是电磁感应与力学、电路等等知识的综合，与力学联系的桥梁是安培力，对于感生情况，要熟练根据法拉第电磁感应定律和欧姆定律结合求感应电流．导体在圆轨道上运动时，要准确把握最高点的临界条件，运用机械能守恒与向心力结合解答．