题目内容

17．如图所示，光滑的水平桌面上，钉有两枚铁钉A和B，相距0.1m，长1m的柔软细线，一端拴在A上，另一端拴住一个质量为0.5kg的小球，小球的初始位置在AB连线上A的一侧，把细线拉直，给小球以2m/s，垂直于细线方向的水平速度，使它做圆周运动，使绳子逐渐被缠绕在AB上，已知细线所能承受的最大拉力为8N，问：
（1）小球第一次碰钉子B之前细线的拉力大小？
（2）小球从开始运动到细线断裂用时多少？

分析 （1）根据F=$\frac{m{v}^{2}}{r}$求得绳子的拉力
（2）根据向心力的来源求出每经过半个周期拉力的大小的表达式，以及每半个周期时间的表达式，结合数学知识分析求解总时间

解答 解：（1）小球第一次碰到B之前，根据牛顿第二定律可知：
F=$m\frac{{v}^{2}}{r}=0.5×\frac{{2}^{2}}{1}N=2N$
（2）在小球做匀速圆周运动的过程中，由于细绳不断缠在A、B上，其轨道半径逐渐减小．
小球受到的绳子的拉力提供向心力，即F=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，且F随R的减小而增大，而运动的半个周期 t=$\frac{πr}{v}$随绳长的减小而减小．推算出每个半周期的时间及周期数，就可求出总时间．根据绳子能承受的最大拉力，可求出细绳拉断所经历的时间．
设AB间距离为d．
在第一个半周期内：F1=m$\frac{{v}^{2}}{{L}_{0}}$，t1=$\frac{π{L}_{0}}{v}$
在第二个半周期内：F2=m$\frac{{v}^{2}}{{L}_{0}-d}$，t2=$\frac{π（{L}_{0}-d）}{v}$
在第三个半周期内：F3=m$\frac{{v}^{2}}{{L}_{0}-2d}$，t3=$\frac{π（{L}_{0}-2d）}{v}$
…
依此类推，在第n个半周期内：Fn=m$\frac{{v}^{2}}{{L}_{0}-（n-1）d}$，t3=$\frac{π[{L}_{0}-（n-1）d]}{v}$
由于$\frac{{L}_{0}}{d}=\frac{1}{0.1}=10$，所以n≤10
设在第x个半周期时，Fx=8N．由Fx=m$\frac{{v}^{2}}{{L}_{0}-（x-1）d}$
代入数据得 8=0.5×$\frac{{2}^{2}}{1-（x-1）×0.1}$
解得 x=6.5，取x=6．
代入第1题表达式得：t=t1+t2+t3+…+t6=$\frac{π（6{L}_{0}-d-2d-…-5d）}{v}$=2.25πs
答：（1）小球第一次碰钉子B之前细线的拉力大小为2N
（2）小球从开始运动到细线断裂用时2.25πs

点评 本题是物理数列类型，结合圆周运动向心力的来源，通过数学知识求出拉力和时间的通项表达式是解决本题的关键．

练习册系列答案
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11．不同色光的光子能量如下表所示；．氢原子部分能级的示意图如图所示．
色  光红橙黄绿蓝-靛紫
光子能量
范围（eV）		1.61～2.002.00～2.072.07～2.142.14～2.532.53～2.762.76～3.10
大量处于n=4能级的氢原子，发射出的光的谱线在可见光范围内，其颜色分别为（　　）
A．红、蓝-靛B．红、紫C．橙、绿D．蓝-靛、紫
8．如图在倾角为30°的斜面上，水平固定一根20cm长的铜棒，将其两端用软导线与电源连接，铜棒中通有5A的电流，方向如图所示，如空间存在竖直向上的、磁感应强度为4T的匀强磁场，则铜棒受到的安培力的大小为多少？方向如何？
5．如图所示在光滑水平面上一轻质弹簧将竖直挡板和一条形磁铁连接起来，此时磁铁对水平面的压力为FN1，在磁铁左上方位置固定一导体棒，当导体棒中通以垂直纸面向里的电流后，磁铁对水平面的压力变为FN2，关于弹簧长度和FN2以下说法正确的是（　　）
A．弹簧长度将变长B．FN1＞FN2C．弹簧长度将变短D．FN1＜FN2
12．如图所示，实线是沿x轴传播的一列简谐横波在t=0时刻的波形图，虚线是这列波在t=0.2s时刻的波形图．已知该波的波速是0.8m/s，则下列说法正确的是（　　）
A．这列波的波长是14cm
B．这列波的周期是0.15s
C．这列波一定沿x轴负方向传播的
D．从t=0时刻开始，x=5cm处的质点经0.1s振动到波峰
E．每经过0.15s介质中的质点就沿x轴移动12cm
2．关于热力学定律，下列说法不正确的是（　　）
A．在一定条件下物体的温度可以降到0K
B．物体从单一热源吸收的热量可全部用于做功
C．吸收了热量的物体，其内能一定增加
D．压缩气体总能使气体的温度升高
E．一切自发过程总是沿着分子热运动的无序性增大的方向进行
9．如图，光滑水平直轨道上有三个质量均为m的物块A、B、C．B的左侧固定一轻弹簧（弹簧左侧的挡板质量不计）．设A以速度v0朝B运动，压缩弹簧；当A、B速度相等时，B与C恰好相碰并粘接在一起，然后继续运动．假设B和C碰撞过程时间极短，求从A开始压缩弹簧直至与弹簧分离的过程中：
（1）A压缩弹簧到A与B具有的相同速度；
（2）整个系统损失的机械能．
（3）弹簧被压缩到最短时的弹性势能．
6．质量为20kg的小孩坐在秋千上，小孩离系绳子的横梁2m．如果秋千摆到最低点时，小孩运动速度的大小是6m/s，求她对秋千的压力是多大？（g取10m/s2）
7．下列关于竖直上抛运动的说法中不正确的是（不计空气阻力）（　　）
A．上升过程克服重力做的功和下落过程重力做的功是相同的
B．上升和下落过程同一位置速度相同
C．上升和下落过程同一位置速率相同
D．上升和下落过程同一位置动能相同

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