题目内容

（2005?浦东新区一模）如图所示，一个半径为R的半球形的碗固定在桌面上，碗口水平，O点为其球心，碗的内表面及碗口是光滑的．一根轻质细线跨在碗口上，线的两端分别系有小球A和B，当它们处于平衡状态时，小球A与O点的连线与水平线的夹角为60°．
（1）求小球A与小球B的质量比mA：mB；
（2）现将A球质量改为2m、B球质量改为m，且开始时A球位于碗口C点，由静止沿碗下滑，当A球滑到碗底时，求两球总的重力势能改变量；
（3）在（2）条件下，当A球滑到碗底时，求B球的速度大小．
分析：（1）先对mB球受力分析，受重力和拉力，二力平衡，求出拉力；再对mA球受力分析，根据共点力平衡条件列式求解．
（2）（3）A球在碗底时，vA不等于vB，应将vA沿绳和垂直于绳的方向分解，沿绳子方向的分速度即等于你B球的速度vB的大小．再根据机械能守恒定律列式解决．
解答：解：（1）设绳的张力为T．对A球进行受力分析，有
Nsin60°+Tsin60°=mAg
Ncos60°=Tcos60°
对B球进行受力分析，有T=mBg
可解得：mA：mB=
3
：1
（2）A球的重力势能改变量为△EpA=-mAgR=-2mgR
B两球的重力势能改变量为△EpB=mBg?
2
R=
2
mgR
所以A、B两球总的重力势能改变量为△Ep=△EpA+△EpB=-(2-
2
)mgR
负号表示两球的重力势能减少．
（3）当A球滑到碗底时，设A、B两球的速度分别为vA、vB，则vAcos45°=vB（1）
根据A、B两球总机械能守恒，有△EK+△Ep=0（2）
即
1
2
mAvA2+
1
2
mBvB2-(2-
2
)mgR=0（3）
联立以上三式，解得：vB=
2(2-
2
)
5
gR
（或
0.23gR
或0.48
gR
）
答：（1）小球A与小球B的质量比mA：mB=
3
：1；
（2）现将A球质量改为2m、B球质量改为m，且开始时A球位于碗口C点，由静止沿碗下滑，当A球滑到碗底时，两球总的重力势能减小量是(2-
2
)mgR；
（3）在（2）条件下，当A球滑到碗底时，B球的速度大小是
2(2-
2
)
5
gR
．
点评：本题是简单的连接体问题，先分析受力最简单的物体，再分析受力较复杂的另一个物体，同时要运用正交分解法处理较为方便．
注意连接体中两个物体的速度大小不一定相等．要应用速度的分解求出两个小球的速率关系．
练习册系列答案
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=
=
tB，（填“＞”、“=”或“＜”）；它们所带的电量之比qA：qB=
1：2
1：2
．
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8
8
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1：7
1：7
．
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或
或
门电路．

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