Question

19．如图所示，AB为半径=0.7m竖直放置的光滑细圆管，O为细圆管的圆心，θ=60°，R在圆管的末端B连接一动摩擦因数μ=0.2的足够长的水平传送带，传送带向左运动的速度v=3m/s．一质量为m=0.7kg的小物块以某一初速度从P点水平抛出，恰好能沿圆管切线方向以3m/s的速度从A点进入细圆管，小物块离开圆弧最低点B后冲上传送带．（g=10m/s²）求：
（1）小物块从P点水平抛出时的初速度v₀和P、A两点间的水平距离；
（2）小物块到达圆弧最低点B时对轨道的压力；
（3）小物块冲上传送带后又返回B点过程中，相对于传送带运动了多少米？

Answer 1

分析 （1）小物块从P到A做平抛运动，到达A点时速度沿A点的切线方向，由速度分解求出物体到A点的速度大小．
（2）由A到B利用动能定理求解B点速度，在B点利用牛顿第二定律和牛顿第三定律列式求解即可压力；
（3）物块在传送带上滑动时，做匀减速运动，当速度减到零后，反向匀加速直线运动，速度相同后一起做匀速运动，结合牛顿第二定律和运动学公式求出相对位移．

解答 解：（1）对A点速度进行分解v₀=v_Acosθ=1.5m/s
v_Ay=v_Asinθ
平抛时间$t=\frac{{{v_{Ay}}}}{g}$
所以：${x_{PA}}={v_0}t=\frac{{9\sqrt{3}}}{40}m≈0.39m$
（2）由A到B运动过程，由机械能守恒定律有：
$mgR（1-cosθ）=\frac{1}{2}m{v_B}^2-\frac{1}{2}m{v_A}^2$
代入数据得：v_B=4m/s
对B点的物块，由牛顿第二定律有：
$N-mg=m\frac{{{v_B}^2}}{R}$
代入数据得：N=23N
由牛顿第三定律，小物块在B点时对轨道的压力N'=23N，方向竖直向下
（3）物块在传送带上的加速度a=μg=2m/s²
物块在传送带上向右运动时有：${s_物}_1=\frac{{{v_B}^2}}{2a}4m$
时间为：
${t_1}=\frac{v_B}{a}=2s$
s_带1=vt₁=6m
△s₁=s_物1+s_带1=10m
物体在传送带上向左运动，加速到与传送带速度相同过程中时间为：
${t_2}=\frac{v}{a}=\frac{3}{2}s$
s_物2=$\frac{v^2}{2a}=\frac{9}{4}m$
s_带2=$v{t_2}=\frac{9}{2}m$
△s₂=s_带2-s_物2=$\frac{9}{4}m$
△S₁+△S₂=12.25m  
答：（1）小物块从P点水平抛出时的初速度是1.5m/s，P、A两点间的水平距离是0.39m；
（2）小物块到达圆弧最低点B时对轨道的压力是23N方向向下；
（3）小物块冲上传送带后又返回B点过程中，相对于传送带运动了是12.25m

点评 恰能无碰撞地沿圆弧切线从B点进入光滑竖直圆弧轨道，这是解这道题的关键，理解了这句话就可以求得小球在C点速度，本题很好的把平抛运动和圆周运动结合在一起运用机械能守恒或动能定理解决，能够很好的考查学生的能力．