Question

16．飞船沿半径为R的圆周绕地球运动其周期为T，地球半径为R₀，如果飞船要返回地面，可在轨道上某点A处将速率降到适当数值，从而使飞船沿着以地心为焦点的椭圆轨道运行，椭圆于地球表面在B点相切（如图所示），已知地球表面的重力加速度为g₀，求：
（1）飞船由A点到B点所需的时间；
（2）飞船沿椭圆轨道运行时经A点的加速度．

Answer 1

分析 根据开普勒第三定律，结合椭圆轨道半长轴的大小，求出飞船在椭圆轨道上的周期，从而求出飞船由A点到B点所需的时间．
根据万有引力的大小，结合万有引力等于重力，通过牛顿第二定律求出A点的加速度．

解答 解：（1）根据题意得椭圆轨道的半长轴r=$\frac{R+{R}_{0}}{2}$，
根据开普勒第三定律得，$\frac{{R}^{3}}{{T}^{2}}=\frac{{r}^{3}}{T{′}^{2}}$
解得T′=$\sqrt{（\frac{R+{R}_{0}}{2R}）^{3}T}$，
则飞船由A点到B点的运动时间t=$\frac{T′}{2}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{（\frac{R+{R}_{0}}{2R}）^{3}T}$．
（2）飞船在轨道A点所受的万有引力$F=\frac{GMm}{{R}^{2}}$，又$GM={g}_{0}{{R}_{0}}^{2}$，
根据牛顿第二定律得，加速度a=$\frac{F}{m}=\frac{GM}{{R}^{2}}=\frac{{g}_{0}{{R}_{0}}^{2}}{{R}^{2}}$．
答：（1）飞船由A点到B点所需的时间为$\frac{1}{2}$$\sqrt{（\frac{R+{R}_{0}}{2R}）^{3}T}$；
（2）飞船沿椭圆轨道运行时经A点的加速度为$\frac{{g}_{0}{{R}_{0}}^{2}}{{R}^{2}}$．

点评 解决本题的关键知道飞船由A点到B点所需的时间应是椭圆轨道的半个周期．关键掌握开普勒第三定律，并能灵活运用．