Question

11．如图所示，从高台边A点以某速度水平飞出的小物块（可看做质点），恰能从固定在某位置的光滑圆弧轨道CDM的左端C点沿圆弧切线方向进入轨道．圆弧轨道CDM的半径R=0.5m，O为圆弧的圆心，D为圆弧最低点，C、M在同一水平高度，OC与CM夹角为37°，斜面MN与圆弧轨道CDM相切与M点，MN与CM夹角53°，斜面MN足够长，已知小物块的质量m=3kg，第一次到达D点时对轨道的压力大小为78N，与斜面MN之间的动摩擦因数μ=$\frac{1}{3}$，小球第一次通过C点后立刻装一与C点相切且与斜面MN关于OD对称的固定光滑斜面，取重力加速度g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8，不考虑小物块运动过程中的转动，求：
（1）小物块平抛运动到C点时的速度大小；
（2）A点到C点的竖直距离；
（3）小物块在斜面MN上滑行的总路程．

Answer 1

分析 （1）利用牛顿第二定律结合动能定理可求小物块平抛运动到C点时的速度大小；
（2）由平抛运动竖直分速度与合速度的关系，结合运动学公式求解；
（3）从D到M过程运用动能定理求解．

解答 解：（1）在D点，支持力和重力的合力提供向心力，则有：${F_D}-mg=m\frac{{{v_D}^2}}{R}$
代入数据解得：v_D²=8m/s²
从C点到D点，动能定理：$mgR（{1-sin{{37}°}}）=\frac{1}{2}m{v_D}^2-\frac{1}{2}m{v_C}^2$
代入数据解得：v_C=2m/s
（2）平抛运动C点的竖直分速度为：v_cy=v_ccos37°
A点到C点的竖直距离为：y=$\frac{{v_{cy}^2}}{2g}$
代入数据解得：y=0.128m
（3）最后物体在CM之间来回滑动，且到达M点时速度为零，
从D到M过程运用动能定理得：$-mgR（{1-sin{{37}°}}）-μmgcosθ•{s_总}=-\frac{1}{2}m{v_D}^2$
代入数据并解得：s_总=1m
答：（1）小物块平抛运动到C点时的速度大小为2m/s；
（2）A点到C点的竖直距离为0.128m；
（3）小物块在斜面MN上滑行的总路程是1m．

点评 该题为平抛运动与圆周运动的结合的综合题，要能够掌握平抛运动的规律、牛顿第二定律和机械能守恒定律，关键能正确分析能量如何转化．