Question

1．如图所示，水平地面上方的H高区域内均有匀强磁场，水平界面PP′是磁场的上边界，磁感应强度为B=1T，方向是水平的，垂直于纸面向里．在磁场的正上方，有一个位于竖直平面内的闭合的矩形平面导线框abcd，ab长为l₁=1m，bc长为l₂₌0.5m，H=2.7m，线框的质量为m=1kg，电阻为R=1Ω．使线框abcd从高处自由落下，ab边下落的过程中始终保持水平，已知线框进入磁场的过程中的运动情况是：cd边进入磁场以后，线框先做加速运动，然后做匀速运动，直到ab边到达边界PP′为止．从线框开始下落到cd边刚好到达水平地面的过程中，线框中产生的焦耳热为Q=10J．g=10m/s²求：
（1）线框abcd在进入磁场的过程中，通过导线的某一横截面的电荷量是多少？
（2）线框是从cd边距边界PP′多高处开始下落的？
（3）线框的cd边到达地面时线框的速度大小是多少？

Answer 1

分析 （1）由法拉第电磁感应定律求出感应电动势，然后由欧姆定律与电流的定义式求出电荷量．
（2）当重力等于安培力时，线框做匀速运动，根据安培力公式与平衡条件可求出匀速运动的速度．从线框开始下落到cd边刚好到达水平地面的过程中，线框的重力势能减小转化为线框的动能和内能，根据能量守恒定律求解高度．
（3）线框的ab边进入磁场后，只有重力作用下，线框做匀加速运动，由运动学公式求解线框的cd边到达地面时线框的速度大小．

解答 解：（1）由法拉第电磁感应定律得：$\overline{E}$=$\frac{△Φ}{△t}$=$\frac{B{l}_{1}{l}_{2}}{△t}$，
感应电流：$\overline{I}$=$\frac{\overline{E}}{R}$=$\frac{B{l}_{1}{l}_{2}}{R△t}$$\frac{B{l}_{1}{l}_{2}}{R}$，
通过导线的某一横截面的电荷量：q=$\overline{I}$△t=$\frac{B{l}_{1}{l}_{2}}{R}$，
解得：q=0.5C；
（2）设线框从cd边距边界PP′上方h高处开始下落，cd边进入磁场后，
切割磁感线，产生感应电流，在安培力作用下做加速度逐渐减小的加速运动，
直到安培力等于重力后匀速下落，速度设为v，匀速过程一直持续到ab边进入磁场时结束，
有：E=Bl₁v，I=$\frac{E}{R}$，安培力：F_A=BIl₁=$\frac{{B}^{2}{l}_{1}^{2}v}{R}$，线框匀速运动，由平衡条件得：F_A=mg，
即：mg=$\frac{{B}^{2}{l}_{1}^{2}v}{R}$，
解得：v=10m/s，
线框的ab边进入磁场后，线框中没有感应电流．只有在线框进入磁场的过程中有焦耳热Q．
线框从开始下落到ab边刚进入磁场的过程中，线框的重力势能转化为线框的动能和电路中的焦耳热．
由能量守恒定律得：mg（h+l₂）=$\frac{1}{2}$mv²+Q，
解得：h=5.5m；
（3）线框的ab边进入磁场后，只有重力作用下，匀加速下落，加速度大小为g，
则有：v₁²-v²=2g（H-l₂），解得，cd边到达地面时线框的速度：v₁=12m/s；
答：（1）线框abcd在进入磁场的过程中，通过导线的某一横截面的电荷量是0.5C；
（2）线框是从cd边距边界PP′5.5m高处开始下落的；
（3）线框的cd边到达地面时线框的速度大小是12m/s．

点评 本题是电磁感应与力学、电学相结合的综合题，分析清楚物体的运动过程是解题的关键，应用法拉第电磁感应定律、欧姆定律、安培力公式、能量守恒定律可以解题．