Question

1．宇航员站在一星球表面上的某高处，以初速度V₀沿水平方向抛出一个小球，经过时间t，球落到星球表面，小球落地时的速度大小为V，已知该星球的半径为R，引力常量为G，求该星球的质量及该星球的第一宇宙速度．

Answer 1

分析 根据平抛知识求得星球表面的重力加速度，再根据重力提供向心力求得第一宇宙速度的大小．

解答 解：根据平抛知识有：

小球落地时的速度${v}_{y}=\sqrt{{v}^{2}-{v}_{0}^{2}}$
小球在竖直方向做自由落体运动，故可知，星球表面重力加速度g=$\frac{{v}_{y}}{t}=\frac{\sqrt{{v}^{2}-{v}_{0}^{2}}}{t}$
根据星球表面重力与万有引力相等有：
$mg=\frac{GmM}{{R}^{2}}$
可得星球的质量M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$=$\frac{\sqrt{{v}^{2}-{v}_{0}^{2}}{R}^{2}}{G}$
星球的第一宇宙速度为绕星球表面飞行的卫星的线速度，据万有引力与重力相等和万有引力提供圆周运动向心力有：
mg=$m\frac{{v}^{2}}{R}$
可得星球第一宇宙速度为$v=\sqrt{gR}$=$\sqrt{\frac{\sqrt{{v}^{2}-{v}_{0}^{2}}}{t}R}$
答：星球的质量为$\frac{\sqrt{{v}^{2}-{v}_{0}^{2}}{R}^{2}}{G}$，星球的第一宇宙速度为$\sqrt{\frac{\sqrt{{v}^{2}-{v}_{0}^{2}}}{t}R}$．

点评 在万有引力的应用中加入平抛知识的考查，一定程度上增加了题目的综合性，关键仍是掌握万有引力与重力和向心力关系及平抛运动知识．