Question

7．A、B两个小物块用轻绳连接，绳跨过位于倾角为30°的光滑斜面顶端的轻滑轮，滑轮与转轴之间的摩擦不计．斜面固定在水平桌面上，如图甲所示．第一次A悬空，B放在斜面上，用t表示B自斜面底端由静止开始运动至斜面顶端所需的时间；第二次，将A和B位置互换，使B悬空，A放在斜面上，发现A自斜面底端由静止开始运动至斜面顶端所需的时间为$\frac{t}{2}$．（重力加速度g已知）

（1）求A与B两小物块的质量之比．   
（2）若将光滑斜面换成一个半径为R的半圆形光滑轨道，固定在水平桌面上，将这两个小物块用轻绳连结后，如图放置．将B球从轨道边缘由静止释放．若不计一切摩擦，求：B沿半圆形光滑轨道滑到底端时，A、B的速度大小．

Answer 1

分析 （1）对分别对两种情况，对整体研究，根据牛顿第二定律求出整体的加速度，结合位移时间公式列式，即可求得质量之比．
（2）对系统，运用动能定理列式，再结合两个小球沿绳子方向的分速度大小相等列式，联立求解即可．

解答 解：（1）第一次，对AB整体，由牛顿第二定律得：
   m₁g-m₂gsinα=（m₁+m₂）a₁
由运动学公式得  $L=\frac{1}{2}{a_1}{t^2}$
第二次，同理可得：
 m₂g-m₁gsinα=（m₁+m₂）a₂
$L=\frac{1}{2}{a_2}{（\frac{t}{2}）^2}$
联立解得 $\frac{m_1}{m_2}=\frac{2}{3}$
（2）设B球到达轨道底端时速度为v₂，此时A的速度为v₁，对AB整体，由动能定理有：
  ${m_2}gR-{m_1}g\sqrt{2}R=\frac{1}{2}{m_2}v_2^2+\frac{1}{2}{m_1}v_1^2$，
而${v_2}=\sqrt{2}{v_1}$

解得：${v_1}=\frac{{\sqrt{2}-1}}{2}\sqrt{gR}$，${v_2}=\frac{{2-\sqrt{2}}}{2}\sqrt{gR}$
答：
（1）A与B两小物块的质量之比是2：3．
（2）B沿半圆形光滑轨道滑到底端时，A、B的速度大小分别为$\frac{\sqrt{2}-1}{2}\sqrt{gR}$和$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$$\sqrt{gR}$．

点评 解决本题时，要注意研究对象，采用整体法比较简单．做题时结合几何关系求解，明确A、B两球沿绳子方向的分速度大小是相等的．