Question

16．质量为2kg、长度为2.5m的长木板B在光滑的水平地面上以4m/s的速度向右运动，将一可视为质点的物体A轻放在B的右端，若A与B之间的动摩擦因数为0.2，A的质量为m=1kg．g=10m/s²，求
（1）说明此后A、B的运动性质；
（2）分别求出A、B的加速度；
（3）经过多少时间A从B上滑下；
（4）A滑离B时，A、B的速度分别为多大？A、B的位移分别为多大？
（5）若木板B足够长，最后A、B的共同速度；
（6）当木板B为多长时，A恰好没从B上滑下（B木板至少为多长，A才不会从B上滑下？）

Answer 1

分析 （1）根据A、B的受力，结合速度方向判断A、B的运动规律．
（2）根据牛顿第二定律分别求出A、B的加速度．
（3）抓住位移之差等于板长求出A从B上滑下的时间．
（4）根据速度时间公式求出A滑离B时，A、B的速度大小，根据位移时间公式求出A、B的位移．
（5）根据速度时间公式求出速度相等经历的时间，从而求出A、B的共同速度．
（6）抓住位移关系，结合位移时间公式求出木板的至少长度．

解答 解：（1）A在水平方向上受到向右的摩擦力，做匀加速直线运动，B在水平方向上受到向左的摩擦力，做匀减速直线运动．
（2）根据牛顿第二定律得，${a}_{A}=\frac{μmg}{m}=μg=0.2×10m/{s}^{2}$=2m/s²；B的加速度大小${a}_{B}=\frac{μmg}{M}=\frac{0.2×10}{2}m/{s}^{2}=1m/{s}^{2}$．
（3）根据${v}_{0}t-\frac{1}{2}{a}_{B}{t}^{2}-\frac{1}{2}{a}_{A}{t}^{2}=L$得，
代入数据解得t=1s．
（4）A滑离B时，A的速度v_A=a_At=2×1m/s=2m/s，B的速度v_B=v₀-a_Bt=4-1×1m/s=3m/s．
A的位移${x}_{A}=\frac{1}{2}{a}_{A}{t}^{2}=\frac{1}{2}×2×1m=1m$，B的位移${x}_{B}={v}_{0}t-\frac{1}{2}{a}_{B}{t}^{2}=4×1-\frac{1}{2}×1×1$m=3.5m．
（5）设经过t′时间，A、B的速度相等，则有a_At′=v₀-a_Bt′，
解得$t′=\frac{{v}_{0}}{{a}_{A}+{a}_{B}}=\frac{4}{2+1}s=\frac{4}{3}s$，
则A、B的共同速度$v={a}_{A}t′=2×\frac{4}{3}m/s=\frac{8}{3}m/s$，
（6）木板的至少长度L=${v}_{0}t′-\frac{1}{2}{a}_{B}t{′}^{2}-\frac{1}{2}{a}_{A}t{′}^{2}$=$4×\frac{4}{3}-\frac{1}{2}×1×\frac{16}{9}-\frac{1}{2}×2×\frac{16}{9}$m=$\frac{8}{3}m$．
答：（1）A做匀加速直线运动，B做匀减速直线运动．
（2）A、B的加速度分别为2m/s²、1m/s²．
（3）经过1s时间A从B上滑下；
（4）A滑离B时，A、B的速度分别为2m/s、3m/s，位移分别为1m、3.5m．
（5）最后A、B的共同速度为$\frac{8}{3}m/s$．
（6）当木板B为$\frac{8}{3}m$时，A恰好没从B上滑下．

点评 解决本题的关键理清A、B在整个过程中的运动规律，结合牛顿第二定律和运动学公式综合求解，对于最后2问，也可以结合动量守恒定律和能量守恒定律进行求解．