题目内容

如图所示，光滑水平面上，质量为2m的小球B连接着轻质弹簧、处于静止状态；质量为m的小球A以速度v0向右匀速运动，接着逐渐压缩弹簧并使B运动，过一段时间后，A与弹簧分离．设小球A、B与弹簧相互作用过程中无机械能损失，弹簧始终处于弹性限度以内．
（1）求当弹簧被压缩到最短时，弹簧的弹性势能E．
（2）若开始时在小球B的右侧某位置固定一块挡板（图中未画出），在小球A与弹簧分离前使小球B与挡板发生正撞，并在碰后立刻将挡板撤走．设小球B与固定挡板的碰撞时间极短，碰后小球B的速度大小不变、但方向相反．设此后弹簧性势能的最大值为Em，求Em可能值的范围．
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（1）当A球与弹簧接触以后，在弹力作用下减速运动，而B球在弹力作用下加速运动，弹簧势能增加，当A、B速度相同时，弹簧的势能最大．
设A、B的共同速度为v，弹簧的最大势能为E，则A、B系统动量守恒：mv0=（m+2m）v①
由机械能守恒：
1
2
m
v20
=
1
2
（m+2m）v2+E…②
联立两式得：E=
1
3
m
v20
…③
（2）设B球与挡板碰撞前瞬间的速度为vB，此时A的速度为vA．
系统动量守恒：mv0=mvA+2mvB…④
B与挡板碰后，以vB向左运动，压缩弹簧，当A、B速度相同（设为v共）时，弹簧势能最大，为Em，
则：mvA-2mvB=3mv共…⑤
1
2
m
v20
═
1
2
×3m
v2共
+Em…⑥
由④⑤两式得：v共=
v0-4vB
3
代入⑥式，化简得：Em=
8m
3
[-（vB-
v0
4
）2+
3v20
16
]…⑦
而当弹簧恢复原长时相碰，vB有最大值vBm，则：
mv0=mvA′+2mvBm          
1
2
mv02=
1
2
mvA′2+
1
2
×2mvBm2
联立以上两式得：vBm=
2
3
v0即vB的取值范围为：0＜VB≤
2
3
v0…⑧
结合⑦式可得：当vB=
v0
4
时，Em有最大值为：
1
2
m
v20
…⑨
当vB=
2
3
v0时，Em有最小值为：
1
27
m
v20

答：（1）当弹簧被压缩到最短时，弹簧的弹性势能是
1
3
m
v20
．
（2）此后弹簧的弹性势能最大值的范围为[
1
27
m
v20
，
1
2
m
v20
]．
练习册系列答案
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如图所示，光滑水平面AB与竖直面内的半圆形导轨在B点相接，导轨半径为R．一个质量为m的物体将弹簧压缩至A点后由静止释放，在弹力作用下物体获得某一向右速度后脱离弹簧，脱离弹簧后当它经过B点进入导轨瞬间对导轨的压力为其重力的7倍，之后向上运动完成半个圆周运动恰好到达C点．试求：
（1）弹簧开始时的弹性势能；
（2）物体从B点运动至C点克服阻力做的功；
（3）物体离开C点后落回水平面时的速度大小和方向．
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（2013?如东县模拟）如图所示，光滑水平面AB与竖直面内粗糙的半圆形导轨在B点衔接，BC为导轨的直径，与水平面垂直，导轨半径为R，一个质量为m的小球将弹簧压缩至A处．小球从A处由静止释放被弹开后，以速度v经过B点进入半圆形轨道，之后向上运动恰能沿轨道运动到C点，求：
（1）释放小球前弹簧的弹性势能；
（2）小球到达C点时的速度和落到水平面时离B点的距离；
（3）小球在由B到C过程中克服阻力做的功．
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