Question

19．如图所示，用一根长为l=2m的细线，一端系一质量为m=1kg的小球（可视为质点），另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角θ=37°，小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动．取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．
（1）若要小球离开锥面，则小球的角速度ω₀至少为多大？
（2）若小球的角速度为ω=1.0rad/s，求细线的张力和小球受到锥面的支持力大小；
（3）若小球的角速度为ω=$\sqrt{10}$rad/s，求细线的张力和小球受到锥面的支持力大小．

Answer 1

分析 （1）小球刚要离开锥面时的速度，此时支持力为零，根据牛顿第二定律求出该临界角速度ω₀．
（2、3）通过角速度的大小判断小球释放离开锥面，抓住竖直方向上的合力为零，水平方向上的合力提供向心力，结合牛顿第二定律进行求解．

解答 解：（1）小球刚要离开锥面时支持力为零，根据牛顿第二定律，有：$mgtanθ=m{{ω}_{0}}^{2}lsinθ$，
解得${ω}_{0}=\sqrt{\frac{g}{lcosθ}}=\sqrt{\frac{10}{2×0.8}}=2.5rad/s$．
（2）因ω＜ω₀，故此时小球未离开锥面，设小球受到的支持力为F_N，细线张力为F，则Fcosθ+F_Nsinθ=mg
$Fsinθ-{F}_{N}cosθ=m{ω}^{2}lsinθ$，
联立以上两式，代入数据得F=8.72N，F_N=5.04N．
（3）因ω＞ω₀，故此时小球已离开锥面，小球受到锥面的支持力F_N=0，
设细线与竖直方向的夹角为α，则
mgtanα=mω²lsinα，$cosα=\frac{g}{{{ω^2}l}}=\frac{1}{2}$
细线的张力F=$\frac{mg}{cosα}=20N$．
答：（1）若要小球离开锥面，则小球的角速度ω₀至少为2.5rad/s；
（2）若小球的角速度为ω=1.0rad/s，细线的拉力为8.72N，小球受到锥面的支持力大小为5.04N．
（3）若小球的角速度为ω=$\sqrt{10}$rad/s，细线的拉力为20N，支持力为零．

点评 本题的关键点在于判断小球是否离开圆锥体表面，不能直接应用向心力公式求解，难度适中．