Question

7．小明站在水平地面上，手握不可伸长的、长度为L的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动．圆心为O点，O点正下方有一点A，OA距离为3L．
（1）如果小球恰好能通过最高点且此时轻绳被剪断，则小球落地点到A点的水平距离为多少？
（2）以不同的力度甩动手腕，使小球在最低点获得大小不同的速度，当小球每次运动到最低点B时，绳子被剪断，小球水平飞出并打到A点右侧竖直挡板上，挡板到A点的水平距离为2L，则当小球从B点水平飞出的初速度为多大时，小球打到挡板上的速度最小？在这种情况下，绳子在剪断前的瞬间受到小球的拉力为多大？
（3）在第（2）问中，小球以最小速度打到挡板上并反弹，碰撞后水平分速度反向，但大小不变，竖直分速度的大小和方向均不变，则小球落地时到A点的水平距离为多少？

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律求出小球恰好通过最高点的速度，结合平抛运动的高度求出运动的时间，根据最高点的速度和时间求出平抛运动的水平位移．
（2）根据平抛运动的规律，运用运动学公式求出小球打到挡板上的速度表达式，结合数学不等式求极值的方法求出小球打在挡板上速度最小时的初速度，结合牛顿第二定律求出拉力的大小．
（3）根据高度，运用位移时间公式求出运动的时间，抓住水平方向上的速度大小不变，结合运动学公式求出水平方向上的路程，从而得出小球落地点到A的水平距离．

解答 解：（1）小球恰好能通过最高点，根据牛顿第二定律得，$mg=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{L}$，
解得${v}_{1}=\sqrt{gL}$，
平抛运动的时间$t=\sqrt{\frac{2×4L}{g}}=\sqrt{\frac{8L}{g}}$，
则小球落地点到A点的水平距离x=${v}_{1}t=\sqrt{gL}\sqrt{\frac{8L}{g}}=2\sqrt{2}L$．
（2）设小球从B点飞出时的速度为v₀，
则平抛运动的时间t=$\frac{2L}{{v}_{0}}$，
打到挡板上的竖直分速度${v}_{y}=gt=\frac{2Lg}{{v}_{0}}$，
根据平行四边形定则知，打到挡板上的速度v=$\sqrt{{{v}_{0}}^{2}+{{v}_{y}}^{2}}=\sqrt{{{v}_{0}}^{2}+\frac{4{g}^{2}{L}^{2}}{{{v}_{0}}^{2}}}$．
当${{v}_{0}}^{2}=\frac{4{g}^{2}{L}^{2}}{{{v}_{0}}^{2}}$时，速度最小，解得${v}_{0}=\sqrt{2gL}$．
根据牛顿第二定律得，$F-mg=m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{L}$，
解得拉力F=$mg+m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{L}=3mg$．
（3）根据$2L=\frac{1}{2}g{t}^{2}$得，$t=\sqrt{\frac{4L}{g}}$，
则水平方向上运动的路程s=${v}_{0}t=\sqrt{2gL}×\sqrt{\frac{4L}{g}}=2\sqrt{2}L$，
小球落地时到A点的水平距离x=s-2L=$（2\sqrt{2}-2）L$．
答：（1）小球落地点到A点的水平距离为$2\sqrt{2}L$；
（2）当小球从B点水平飞出的初速度为$\sqrt{2gL}$时，小球打到挡板上的速度最小，在这种情况下，绳子在剪断前的瞬间受到小球的拉力为3mg．
（3）小球落地时到A点的水平距离为$（2\sqrt{2}-2）L$．

点评 本题考查了平抛运动和圆周运动的综合运用，知道圆周运动向心力的来源以及平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律是解决本题的关键，本题第二问对数学能力的要求较高，通过不等式求极值的方法求解．