Question

6．如图是阿毛同学的漫画中出现的装置，描述了一个“吃货”用来做“糖炒栗子”的“萌”事儿：将板栗在地面小平台上以初速度v₀经两个四分之一圆弧衔接而成的轨道，从最高点P飞出进入炒锅内，利用来回运动使其均匀受热．我们用质量为m的小滑块代替栗子，借这套装置来研究一些物理问题．设两个四分之一圆弧半径分别为2R和R，小平台和圆弧均光滑．将过锅底的纵截面看作是两个斜面AB、CD和一段光滑圆弧组成．两斜面倾角均为θ=37°，滑块的运动始终在包括锅底最低点的竖直平面内，重力加速度为g．设滑块恰好能经P点飞出，且恰好沿AB斜面进入锅内．已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，求：

（1）滑块经过O点时对轨道压力多大？
（2）滑块经P点时的速度大小？
（3）P、A两点间的水平距离为多少？

Answer 1

分析 （1）滑块经过O点时，由重力和轨道的支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律求得支持力，从而得到滑块对轨道的压力．
（2）滑块恰好能经P点飞出，在P点，由重力提供向心力，由牛顿第二定律求P点的速度．
（3）由于滑块恰好沿AB斜面进入锅内，到达A点时速度沿AB方向，根据速度的分解法求出滑块到A点时竖直分速度，由v_y=gt求出从P到A的时间，再由水平方向匀速运动的位移公式求P、A两点间的水平距离．

解答 解：（1）在O点，根据牛顿第二定律得：
N-mg=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
得：N=mg+m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
根据牛顿第三定律可得滑块经过O点时对轨道压力大小为：
N′=N=mg+m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
（2）在P点，根据牛顿第二定律得：
mg=m$\frac{{v}_{P}^{2}}{2R}$
得：v_P=$\sqrt{2gR}$
（3）到达A点时滑块的速度方向沿着AB方向，则有：
  tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{P}}$
又 v_y=gt
P、A两点间的水平距离为：s=v_Pt
联立解得：s=1.5R
答：
（1）滑块经过O点时对轨道压力是mg+m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$．
（2）滑块经P点时的速度大小是$\sqrt{2gR}$．
（3）P、A两点间的水平距离为1.5R．

点评 本题关键要理清小球的运动情况，把握P点的临界条件：重力等于向心力．对于平抛运动，要抓住隐含的条件，分解速度，要注意分运动的同时性．