Question

10．如图所示为足球球门，球门宽为L．一个球员在球门中心正前方距离球门s处高高跃起，将足球顶入球门的左下方死角（图中P点），球员顶球点的高度为h，足球做平抛运动（足球可看成质点，忽略空气阻力），重力加速度为g，求：
（1）足球位移的大小；
（2）足球末速度的大小；
（3）足球初速度的方向与球门线夹角的正切值．

Answer 1

分析 （1）根据足球运动的轨迹，由几何关系求解位移大小．
（2）由平抛运动分位移的规律求出足球的初速度的大小；根据动能定理在确定足球的末速度的大小．
（3）由几何知识求足球初速度的方向与球门线夹角的正切值．

解答 解：（1）由题可知，足球在水平方向的位移大小为：x=$\sqrt{{s}^{2}+（\frac{L}{2}）^{2}}$
所以足球的位移大小：l=$\sqrt{{h}^{2}+{x}^{2}}$=$\sqrt{{h}^{2}+{s}^{2}+\frac{{L}^{2}}{4}}$；
（2）足球运动的时间为：t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$
所以足球的初速度的大小为：v₀=$\frac{x}{t}$=$\sqrt{\frac{g}{2h}（{s}^{2}+\frac{{L}^{2}}{4}）}$；
足球在运动的过程中重力做功，由动能定理得：mgh=$\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
联立以上各式得：足球末速度的大小为：v=$\sqrt{\frac{g}{2h}（{s}^{2}+\frac{{L}^{2}}{4}）+2gh}$；
（3）由几何关系可得足球初速度的方向与球门线夹角的正切值为：tanθ=$\frac{s}{\frac{1}{2}L}$=$\frac{2s}{L}$．
答：（1）足球的位移大小为$\sqrt{{h}^{2}+{s}^{2}+\frac{{L}^{2}}{4}}$；
（2）足球末速度的大小为$\sqrt{\frac{g}{2h}（{s}^{2}+\frac{{L}^{2}}{4}）+2gh}$；
（3）足球初速度的方向与球门线夹角的正切值为$\frac{2s}{L}$．

点评 该题结合日常生活中的实例考查平抛运动、动能定理等知识点的内容，理解足球抛出点的位置与球门组成的几何关系是解题过程中的关键，也是容易出现错误的地方．对于末速度，也可以根据速度的合成求解．