Question

15．如图甲所示，竖直平面内的光滑轨道由倾斜直轨道AB和圆轨道BCD组成，AB和BCD相切于B点，CD连线是圆轨道竖直方向的直径（C，D为圆轨道的最低点和最高点），且∠BOC=θ=37°．可视为质点的小滑块从轨道AB上高H处的某点由静止滑下，用力传感器测出滑块经过圆轨道最高点D时对轨道的压力为F，并得到如图乙所示的压力F与高度H的关系图象．求：（取sin37°=0.6，cos37°=0.8）

（1）滑块的质量和圆轨道的半径；
（2）通过计算判断是否存在某个H值，使得滑块经过最高点D后能直接落到直轨道AB上与圆心等高的点．

Answer 1

分析 （1）先根据机械能守恒定律求出滑块经过D点时的速度大小，根据牛顿第二定律求出滑块经过D点时轨道对滑块的压力，即可得到滑块对轨道的压力，结合图象的信息，求解滑块的质量和圆轨道的半径；
（2）假设滑块经过最高点D后能直接落到直轨道AB上与圆心等高的E点，滑块离开轨道后，做平抛运动，由平抛运动的规律求出滑块经过D点时的速度大小，与临界速度进行比较，判断假设是否成立，若滑块经过最高点D后能直接落到直轨道AB上与圆心等高的点，再根据机械能守恒定律求出H．

解答 解：（1）滑块从A运动到D的过程，由机械能守恒得：mg（H-2R）=$\frac{1}{2}$mv_D²
在D点，由牛顿第二定律得：F+mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$
得：F=$\frac{2mgH}{R}$-5mg
取点（0.50m，0）和（1.00m，5.0N）代入上式解得：m=0.1kg，R=0.2m                            
（2）存在满足条件的H值．设滑块在D点的速度为v时，恰能落到直轨道上与圆心等高处
竖直方向：R=$\frac{1}{2}$gt²
水平方向：x=vt，
由几何关系得：x=$\frac{R}{sinθ}$=$\frac{5}{3}$R
代入数据解得：v=$\frac{5}{3}$ m/s
物体恰好能过D点的速度大小：v₀=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{2}$ m/s，
因为v＞v₀，所以存在满足条件的H值．
答：（1）滑块的质量为0.1kg，圆轨道的半径为0.2m．
（2）存在H值，使得滑块经过最高点D后能直接落到直轨道AB上与圆心等高的点．

点评 本题的关键根据牛顿定律和机械能守恒定律得到F与H的函数式，要准确理解恰能到达最高点的物理含义，来分析图象的物理意义．