Question

（19分）如图所示，正方形单匝均匀线框abcd边长L=0.4m，每边电阻相等，总电阻R=0.5Ω。一根足够长的绝缘轻质细线跨过两个轻质光滑定滑轮，一端连接正方形线框，另一端连接绝缘物体P，物体P放在一个光滑的足够长的固定斜面上，斜面倾角θ=30°，斜面上方的细线与斜面平行。在正方形线框正下方有一有界的匀强磁场，上边界I和下边界II都水平，两边界之间距离也是L=0.4m。磁场方向水平且垂直纸面向里，磁感应强度大小B=0.5T。现让正方形线框的cd边距上边界I的正上方高度h=0.9m的位置由静止释放，且线框在运动过程中始终与磁场垂直，cd边始终保持水平，物体P始终在斜面上运动，线框刚好能以v=3m/s的速度进入并匀速通过磁场区域。释放前细线绷紧，重力加速度 g=10m/s²，不计空气阻力。

(1) 线框的cd边在匀强磁场中运动的过程中，c、d 间的电压是多大？
(2) 线框的质量m₁和物体P的质量m₂分别是多大？
(3) 在cd边刚进入磁场时，给线框施加一个竖直向下的拉力F使线框以进入磁场前的加速度匀加速通过磁场区域，在此过程中，力F做功W =0.23J，求正方形线框cd边产生的焦耳热是多少？

Answer 1

（1）0.45V；（2）m₁=3.2×10^-2kg，m₂=1.6×10^-2kg；（3）5.75×10^-2J；

试题分析：（1）正方形线框匀速通过匀强磁场区域的过程中，设cd边上的感应电动势为E，线框中的电流强度为I，c、d间的电压为U_cd，则  E=BLv        （1分）
由欧姆定律，得I＝E/R             （1分）
U_cd=3IR/4         （1分）
解得  U_cd=0.45V         （1分）
（2）正方形线框匀速通过磁场区域的过程中，设受到的安培力为F，细线上的张力为T，则
F=BIL        （1分）
T=m₂gsinθ       （1分）
m₁g=T+F          （1分）
正方形线框在进入磁场之前的运动过程中，根据能量守恒，则
m₁gh?m₂ghsinθ＝(m₁+m₂)v²         （4分）
解得m₁=3.2×10^-2kg，m₂=1.6×10^-2kg         （2分）
（3）因为线框在磁场中运动的加速度与进入前的加速度相同，所以在通过磁场区域的过程中，线框和物体P的总机械能保持不变，故力F做功W等于整个线框中产生的焦耳热Q，即
W=Q        （3分）
设线框cd边产生的焦耳热为Q_cd，根据Q=I²Rt得  Q_cd＝Q/4    （2分）
解得Q_cd=5.75×10^-2J           （1分）