Question

8．如图所示，一个质量为m，电荷量为q的正离子，在D处沿图示方向以一定的速度射入磁感应强度为B的匀强磁场中，此磁场方向是垂直纸面向里．结果离子正好从距A点为d的小孔C沿垂直于电场方向进入匀强电场，此电场方向与AC平行且向上，最后离子打在G处，而G处距A点4d（AG⊥AC）．不计离子重力，离子运动轨迹在纸面内．求：
（1）匀强电场的大小；
（2）离子从D处运动到G处所需时间为多少；
（3）离子到达G处时的速度大小．

Answer 1

分析 （1）画出离子在磁场中的运动轨迹，由几何知识求出离子在磁场中做圆周运动的半径r，从而可求得离子在磁场中运动的速度大小．带电粒子垂直进入电场中作类平抛运动，将其运动分解为水平和竖直两个方向，由牛顿第二定律和分位移规律求解．
（2）求出磁场中轨迹对应的圆心角，从而求出带电粒子在磁场中运动的时间．由上题得到粒子在电场中运动的时间，从而求出总时间．
（3）根据动能定理求解离子到达G处时的速度大小．

解答 解：（1）正离子的运动轨迹如图所示，
离子在磁场中作匀速圆周运动，设轨迹半径为r，由几何知识可得：r+rcos 60°=d，
解得：r=$\frac{2}{3}$d
设离子在磁场中运动的速度为v₀，由牛顿第二定律得：qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$
得 v₀=$\frac{qBr}{m}$=$\frac{2qBd}{3m}$
离子进入电场中做类平抛运动，则有：
d=$\frac{1}{2}•\frac{qE}{m}{t}^{2}$
4d=v₀t
联立解得：E=$\frac{q{B}^{2}d}{18m}$
（2）离子在磁场中运动的周期为：T=$\frac{2πr}{{v}_{0}}$=$\frac{2πm}{qB}$
根据轨迹得：离子在磁场中做圆周运动的时间为：t₁=$\frac{120°}{360°}$T=$\frac{2πm}{3qB}$
离子从C运动到G做类平抛运动，水平方向做匀速直线运动，所需的时间为：t₂=$\frac{4d}{{v}_{0}}$=$\frac{6m}{qB}$
故离子从D→C→G的总时间为：t=t₁+t₂=$\frac{（2π+12）m}{3qB}$．　
（3）对离子在电场中的运动过程，根据动能定理得：
qE•d=$\frac{1}{2}m{v}_{G}^{2}$-$\frac{1}{2}$mv₀²　
解得：v_G=$\frac{\sqrt{5}qBd}{3m}$
答：（1）匀强电场的大小为$\frac{q{B}^{2}d}{18m}$；
（2）离子从D处运动到G处所需时间为$\frac{（2π+12）m}{3qB}$；
（3）离子到达G处时的速度大小为$\frac{\sqrt{5}qBd}{3m}$．

点评 本题离子在组合场中运动的问题，离子在磁场中运动画轨迹是解题的关键，在电场中运用运动的分解进行研究．