Question

如图所示，倾斜的金属导轨和水平的金属导轨接在一起，各自的两条平行轨道之间距离都为d，倾斜导轨与水平面间的夹角为30°，在倾斜导轨的区域有垂直于轨道平面斜向上的匀强磁场，在水平导轨的区域有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小都为B，倾斜导轨上放有金属棒a，在紧靠两导轨连接处的水平导轨上放有金属棒b，a、b都垂直于各自的轨道，质量均为m，a、b与水平的金属导轨间的动摩擦因数是μ，倾斜的金属导轨光滑。倾斜轨道间接有电阻R，a、b的电阻值都是R，其余电阻不计。

开始时a固定，b静止，且a距水平导轨平面的高度为h，现释放a，同时给a一个平行于倾斜导轨向下的初速度，a就在倾斜导轨上做匀速运动，经过两导轨的连接处时速度大小不变，在此过程中b仍然静止，滑上水平导轨后即与b金属棒粘在一起在水平导轨上运动距离L后静止。求：
(1)在倾斜导轨上匀速运动的速度v₀大小。
(2)a在倾斜导轨上运动的过程中，电阻R上产生的热量Q₁是多大?
(3)a、b一起在水平导轨上运动的过程中，电阻R上产生的热量Q₂是多大?

Answer 1

(1)  （2）      (3)－μmgL

(1)设在倾斜导轨上运动的过程中，感应电动势为E，其中的电流强度为I_a，受到的磁场力为F，则
E＝Bdv₀ R_总＝R
I_a＝E/R_总 I_a＝
F＝BI_ad  F＝
由于a在倾斜导轨上做匀速运动，所以所受的合外力为零，则：
F＝mgsin30°
解得：v₀＝
(2)a在倾斜导轨上运动的过程中，设a、b和电阻R中的电流强度分别是I_a、I_b和I_R，产生的热量分别是Q_a、Q_b和Q₁，则
I_a＝2I_R I_b＝I_R
由：Q＝I²Rt得
Q_a＝4Q₁   Q_b＝Q₁
根据能量守恒有：mgh＝Q_a＋Q_b＋Q₁
Q₁＝mgh
或解：a在倾斜导轨上运动的过程中，设电阻R中的电流强度是I_R，滑动时间为t，则I_R＝I_a I_R＝
t＝
Q₁＝
解得：Q₁＝mgh
(3)设a、b粘在一起的共同速度为v，由动量守恒定律则有：
mv₀＝2mv
ab在水平轨道上运动过程，克服摩擦力做功W，则
W＝μ·2mg·L
设电流流过ab产生的热量共为Q_ab，则有：
R_ab＝R，Q_ab＝Q₂
根据能量守恒定律得：
·2mv²=Q₂+Q_ab＋W
解得：Q₂＝μmgl