Question

11．游乐场的滑道运动可以让游客体验到刺激的感觉，游乐场的滑道可简化为AOB滑道模型，它位于竖直平面内，由两个半径都是R的$\frac{1}{4}$圆周连接而成，它们的圆心O₁、O₂与两圆弧的连接点O在同一竖直线上．O₂B与水面位于同一平面．一个质量为m的游客可由弧AO的任意位置从静止开始滑下，游客可看成质点．（当地重力加速度为g）
（1）若游客由A点静止下滑越过O点时，对滑道压力恰好为零，求游客从A到O过程中克服阻力做的功．
（2）若不计阻力，游客在A点由静止下滑，求其落水点到O₂的距离．
（3）若不计阻力，游客从开始下滑到刚好脱离滑道的过程中，在两个圆弧上滑过的弧长相等，则游客应从圆弧AO上的何处开始下滑（用该处到O₁点的连线与竖直线的夹角θ的三角函数值表示）．

Answer 1

分析 （1）游客在O点时，由重力提供向心力，由牛顿第二定律可以求出游客经过O点的速度；由动能定理可以求出游客从A到O过程中克服阻力做的功．
（2）不计阻力，先由机械能守恒定律求出游客由A点静止下滑到O点的速度．游客离开O点后做平抛运动，由平抛运动知识可以求出其落水点到O₂的距离．
（3）游客刚好脱离滑道时，轨道对游客的支持力为零，由重力的径向分力提供向心力，由牛顿第二定律和向心力公式列式，结合机械能守恒定律求解．

解答 解：（1）设该游客由A点静止下滑到O点时的速度为v₀，克服阻力做的功为W_f，根据动能定理有：mgR-W_f=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
根据牛顿第二定律有：mg=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
联立解得：W_f=0.5mgR
（2）不计阻力，设游客由A点静止下滑到O点的速度为v₁，根据机械能守恒定律有：mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
脱离轨道后做平抛运动，设经t时间落水，有：R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
   x=v₁t
联立解得：x=2R   
（3）如图所示，设游客出发点为P₁离开点为P₂，按题意要求O₁P₁、O₂P₂与竖直方向的夹角相等为θ，
若离开滑道时的速度为v₂，则游客在P₂处脱离滑道的条件：
   mgcosθ=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$
从P₁到P₂由机械能守恒有：2mgR（1-cosθ）=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$
联立解得：cosθ=0.8
答：
（1）游客从A到O过程中克服阻力做的功是0.5mgR．
（2）其落水点到O₂的距离是2R．
（3）cosθ的值为0.8．

点评 分析清楚游客的运动过程，把握圆周向心力的来源：指向圆心的合力，尤其是临界条件是解决本题的关键．