Question

如图所示，两块很大的平行导体板MN、PQ产生竖直向上的匀强电场，两平行导体板与一半径为r的单匝线圈连接，在线圈内有一方向垂直线圈平面向里，磁感应强度变化率为的匀强磁场B₁。在两导体板之间还存在有理想边界的匀强磁场，匀强磁场分为Ⅰ、Ⅱ两个区域，其边界为MN、ST、PQ，磁感应强度大小均为B₂，方向如图所示，Ⅰ区域高度为d₁，Ⅱ区域的高度为d₂。一个质量为m、电量为q的带正电的小球从MN板上方的O点由静止开始下落，穿过MN板的小孔进入复合场后，恰能做匀速圆周运动，Ⅱ区域的高度d₂足够大，带电小球在运动中不会与PQ板相碰，重力加速度为g。

(1)求线圈内匀强磁场的磁感应强度变化率；

(2)若带电小球运动后恰能回到O点，求带电小球释放时距MN的高度h；

(3)若带电小球从距MN的高度为3h的O'点由静止开始下落，为使带电小球运动后仍能回到O'点，在磁场方向不改变的情况下对两导体板之间的匀强磁场作适当的调整，请你设计出两种方案并定量表示出来。

   

Answer 1

解：（1）带电小球进入复合场后恰能做匀速圆周运动，则电场力与重力平衡，得

                                             (1)

                               (2)

                               (3)

                               (4)

（2）只有小球从进入磁场的位置离开磁场，做竖直上抛运动，才能恰好回到O点，由于两个磁场区的磁感应强度大小都相等，所以半径都为R，由图可知△O₁O₂O₃是等边三角形。

                (5)

             (6)

         (7)

解得：            (8)

（3）方案1：改变磁感应强度

                               (9)

                            (10)

                             (11)

                                 (12)

将两板之间的匀强磁场的磁感应强度增大为原来的倍。 

方案2：改变磁场的宽度：

由可知，将磁场I区的宽度增大为原来的倍，即= d₁。

磁场II区的宽度变为= d₂d₁                         （13）

方案3：改变磁场边界：磁场II区的磁场边界下移y的距离。

当带电小球从距MN的高度为3h的O'点由静止开始下落时，应有

                                  (14)

           (15)

           (16)

                (17)

                         画出粒子的运动轨迹，如右图所示，在中间匀速直线运动过程中，粒子的速度方向与竖直方向成30°角，根据几何关系，可得

                                  (18)

                                          ₍₁₉₎

方案4：同时改变磁感应强度和磁场边界（上图中30⁰角改为角）

设磁感应强度增大k倍。   则磁场II区域的上边界下移y的距离

                                    (20)

式中：                       (21)

评分标准：本题18分

第(1)问6分：（1）（4）式2分，(2)（3）式1分

第(2)问6分：（5）（8）式2分，(6)（7）式1分

第(3)问6分：只要能定量分析出两种不同的方案（方案不限于参考答案的四种）则6分全给，第一种方案给2分，第二种方案4分。