Question

2．在倾角θ=37°的粗糙斜面上距离斜面底端s=1m处有一质量m=1kg的物块，受如图所示的水平恒力F的作用．物块由静止开始沿斜面下滑，到达底端时即撤去水平恒力F，物块在水平面上滑动一段距离后停止．已知物块与各接触面之间的动摩擦因数均为μ=0.2，g=10m/s²，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8．
（1）若物块在运动过程中的最大速度为2m/s，则水平恒力 F的大小为多少？
（2）若改变水平恒力F的大小，可使物块总的运动时间最短，则最短时间为多少？

Answer 1

分析 （1）物体在斜面上到达斜面底端时的速度最大为2m/s，由运动学公式求出加速度，由牛顿第二定律求的力F；
（2）利用运动学公式求出在斜面上和在水平面上的时间，由数学知识求的最小时间．

解答 解：（1）物块到达斜面底端时速度最大，
由匀变速直线运动的速度位移公式得：
v²=2as，解得，加速度：a=2m/s²，
物块在斜面上运动过程，由牛顿第二定律得：
mgsin θ-Fcos θ-μ（mgcos θ+Fsin θ）=ma，解得：F=2.6N．
（2）设物块在斜面上的加速度为a，运动时间为t₁，在水平面上的运动时间为t₂，
由匀变速直线运动的位移公式得：s=$\frac{1}{2}$at₁²，
到达底端时的速度：v=$\sqrt{2as}$=μgt₂，
运动的总时间：t=t₁+t₂=$\sqrt{\frac{2s}{a}}$+$\frac{\sqrt{2as}}{μg}$
根据基本不等式，当a=μg=2m/s²时，t有最小值：t_min=2s．
答：（1）若物块在运动过程中的最大速度为2m/s，则水平恒力 F的大小为2.6N；
（2）若改变水平恒力F的大小，可使物块总的运动时间最短，则最短时间为2s．

点评 解决本题的关键能够正确地受力分析，运用牛顿第二定律和运动学公式以及动能定理求解，知道加速度是联系力学和运动学的桥梁．