题目内容
（2013?合肥模拟）如图所示，相距为L的平行金属导轨ab、cd与水平面成θ角，导轨两端分别接有 阻值均为2R0的电阻R1，R2，两导轨间有方向垂直轨道平面斜向上的匀强磁场，磁感应 强度为B．质量为m、阻值为R0的导体棒MN放在两导轨上，棒与导轨垂直并保持良好 接触，它们之间的动摩擦因数为μ．重力加速度为g．棒由静止下滑，最终达到稳定状态 时速度恒定．（1）求金属棒下滑后，当通过电阻R1的电量为q1时，金属棒减 少的重力势能；
（2）金属棒加速下滑的某段时间内，电阻R1上产生的焦耳热 为Q1，求在这段时间内金属棒克服安培力做的功；
（3）求金属棒达到稳定状态时的速度vm．
分析：（1）根据法拉第电磁感应定律、欧姆定律和电量公式q=I△t求出棒下滑的距离，即可求得金属棒减少的重力势能．
（2）电阻R1上产生的焦耳热为Q1时，电阻R2上产生的焦耳热也为Q1，金属棒上产生的热量为2Q1，金属棒克服安培力做的功等于整个电路产生的总热量．
（3）推导出安培力与速度的关系式，由平衡条件求解最大速度．
（2）电阻R1上产生的焦耳热为Q1时，电阻R2上产生的焦耳热也为Q1，金属棒上产生的热量为2Q1，金属棒克服安培力做的功等于整个电路产生的总热量．
（3）推导出安培力与速度的关系式，由平衡条件求解最大速度．
解答：解：（1）在这段时间内金属棒下滑的距离为x，通过金属棒的电量为：q=2q1，
回路中的总电阻为：R=2R0
通过金属棒的电量为：q=I△t=
?△t=
?
△t=
则得：x=
金属棒下滑的高度为：h1=xsinθ=
所以金属棒减少的重力势能为：△Ep=mgh1=
（2 ）电阻R1上产生的焦耳热为Q1时，电阻R2上产生的焦耳热也为Q1．
R1和R2热功率均为：P1=I
?2R0，金属棒上的热功率为：P2=（2I1）2?R0=2P1
所以金属棒上产生的热量为2Q1，回路中产生的总焦耳热：Q=4Q1，
根据金属棒克服安培力做的功等于整个电路产生的总热量，得知金属棒克服安培力做的功：W=4Q1，
（3）金属棒达到稳定状态时感应电动势：Em=BLvm
通过金属棒的电流：Im=
金属棒受到的安培力：F安m=BImvm=
金属棒合力为零：mgsinθ-μmgcosθ-F安m=0
得：vm=
答：（1）金属棒下滑后，当通过电阻R1的电量为q1时，金属棒减少的重力势能为
；
（2）在这段时间内金属棒克服安培力做的功为4Q1，
（3）金属棒达到稳定状态时的速度vm为
．
回路中的总电阻为：R=2R0
通过金属棒的电量为：q=I△t=
| E |
| 2R0 |
| △ φ |
| △t |
| 1 |
| 2R0 |
| BLx |
| 2R0 |
则得：x=
| 4R0q1 |
| BL |
金属棒下滑的高度为：h1=xsinθ=
| 4R0q1sinθ |
| BL |
所以金属棒减少的重力势能为：△Ep=mgh1=
| 4mgR0q1sinθ |
| BL |
（2 ）电阻R1上产生的焦耳热为Q1时，电阻R2上产生的焦耳热也为Q1．
R1和R2热功率均为：P1=I
2 1 |
所以金属棒上产生的热量为2Q1，回路中产生的总焦耳热：Q=4Q1，
根据金属棒克服安培力做的功等于整个电路产生的总热量，得知金属棒克服安培力做的功：W=4Q1，
（3）金属棒达到稳定状态时感应电动势：Em=BLvm
通过金属棒的电流：Im=
| BLvm |
| 2R0 |
金属棒受到的安培力：F安m=BImvm=
| B2L2vm |
| 2R0 |
金属棒合力为零：mgsinθ-μmgcosθ-F安m=0
得：vm=
| 2mgR0(sinθ-μcosθ) |
| B2L2 |
答：（1）金属棒下滑后，当通过电阻R1的电量为q1时，金属棒减少的重力势能为
| 4mgR0q1sinθ |
| BL |
（2）在这段时间内金属棒克服安培力做的功为4Q1，
（3）金属棒达到稳定状态时的速度vm为
| 2mgR0(sinθ-μcosθ) |
| B2L2 |
点评：解决本题关键要正确推导安培力与感应电量的表达式，正确分析电路中能量如何转化．
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