Question

12．如果把水星和金星绕太阳的运动视为匀速圆周运动，从水星与金星在一条直线上开始计时，如图所示．若天文学家测得在相同时间t内水星转过的角度为θ₁；金星转过的角度为θ₂（θ₁、θ₂均为锐角），且已知水星离太阳表面的高度和太阳的半径之比为k，则由此条件可求得（　　）

• A． 水星和金星绕太阳运动的周期之比
• B． 水星和金星的密度之比
• C． 水星和金星的动能之比
• D． 太阳的密度

Answer 1

分析 由$ω=\frac{θ}{t}$可知转过的角度之比角速度之比，又可求得周期之比；设出太阳的半径为R，则水星的轨道半径为（k+1）R，由万有引力等于向心力求得太阳的质量的表达式，再除以太阳的体积可得密度．

解答 解：A、由$ω=\frac{θ}{t}$可知转过的角度之比即为角速度之比，再由T=$\frac{2π}{ω}$可得周期之比，故A正确
BC、运转半径及涉及运动快慢的物理量与绕行天体的质量，密度无关，故BC错误
D、设太阳的半径为R，水星的轨道半径为（K+1）R，由万有引力提供向心力$G\frac{Mm}{（K+1）^{2}{R}^{2}}$=m（K+1）R$（\frac{{θ}_{1}}{t}）^{2}$
得太阳的质量M=$\frac{（K+1）^{3}{R}^{3}{θ}_{1}^{2}}{G{t}^{2}}$，太阳的体积V=$\frac{4}{3}π{R}^{3}$，则$ρ=\frac{M}{V}$=$\frac{3（K+1）^{3}{θ}_{1}^{2}}{4G{t}^{2}π}$，故D正确
故选：AD

点评 行星做匀速圆周运动，它们受到的万有引力充当向心力，由万有引力定律结合牛顿第二定律列式求中心天体的质量，然后由密度公式求出密度．