Question

如图所示，光滑绝缘的细圆管弯成半径为R的半圆形，固定在竖直面内，管口B，C的连线水平．质量为m的带正电小球从B点正上方的A点自由下落A，B两点间距离为4R．从小球（小球直径小于细圆管直径）进人管口开始，整个空间中突然加上一个斜向左上方的匀强电场，小球所受电场力在竖直方向上的分力方向向上，大小与重力相等，结果小球从管口 C处离开圆管后，又能经过A点．设小球运动过程中电荷量没有改变，重力加速度为g，求：
（1）小球到达B点时的速度大小；
（2）小球受到的电场力大小；
（3）小球经过管口C处时对圆管壁的压力．

Answer 1

分析：（1）小球从A开始自由下落到到达管口B的过程中，只有重力做功，机械能守恒，可求出小球到达B点时的速度大小；
（2）将电场力分解为水平和竖直两个方向的分力，小球从B到C的过程中，水平分力做负功，根据动能定理得到水平分力与B、C速度的关系．小球从C处离开圆管后，做类平抛运动，竖直方向做匀速运动，水平方向做匀加速运动，则两个方向的位移，由运动学公式和牛顿第二定律结合可水平分力．竖直分力大小等于重力，再进行合成可求出电场力的大小．
（3）小球经过管口C处时，由电场力的水平分力和管子的弹力的合力提供向心力，由牛顿运动定律求解球对圆管壁的压力．

解答：解：（1）小球从A开始自由下落到到达管口B的过程中，只有重力做功，机械能守恒，则有：
   mg?4R=

1

2

m

v

2 B

解得，vB=2

2gR

（2）设电场力的水平分力和竖直分力分别为F_x和F_y，则  F_y=mg，方向竖直向上．小球从B到C的过程中，电场力的水平分力F_x做负功，根据动能定理得
-F_x?2R=

1

2

m

v

2 C

-

1

2

m

v

2 B

小球从C处离开圆管后，做类平抛运动，竖直方向做匀速运动，水平方向做匀加速运动，则：
  y=4R
  x=2R=

1

2

axt2=

Fx

2m

t2
联立解得，F_x=mg
故电场力的大小为 F=qE=

F 2 x + F 2 y

=

2

mg
（3）小球经过管口C处时，由电场力的水平分力和管子的弹力的合力提供向心力，由牛顿运动定律得
    F_x+N=m

v 2 C

R

  得  N=3mg，方向向左
根据牛顿第三定律可知，小球经过管口C处时对圆管壁的压力大小N′=N=3mg，方向水平向右．
答：
（1）小球到达B点时的速度大小是2

2gR

；
（2）小球受到的电场力大小

2

mg；
（3）小球经过管口C处时对圆管壁的压力大小为3mg，方向水平向右．

点评：本题运用动能定理、牛顿第二定律和运动学公式结合研究圆周运动和类平抛运动，并采用正交分解求解电场力，常规方法，难度适中．