Question

（2009?巢湖一模）如图所示，在光滑的水平面上，质量为M=3.0kg的长木板A的左端叠放着一个质量为m=1.0kg的小物块B（可视为质点），处于静止状态，小物块与木板之间的动摩擦因数μ=0.30．在木板A的左端正上方，用长为R=0.80m不可伸长的轻绳将质量为m=1.0kg的小球C悬于固定点O，现将轻绳拉直使小球C于O点以下与水平方向成θ=30°角的位置（如图所示），由静止释放．此后，小球C与B恰好发生正碰且无机械能损失．空气阻力不计，取g=10m/s²．求：
（1）小球运动到最低点时对细绳的拉力；
（2）木板长度L至少为多大时小物块才不会滑出木板？

Answer 1

分析：（1）小球下落的过程中机械能守恒，根据机械能守恒定律列式，小球在最低点，根据向心力公式列式，联立方程即可求解；
（2）小球与小物块B在碰撞过程中，动量守恒，机械能守恒，根据动量守恒定律及械能守恒定律求出碰撞后的速度，之后，小物块B在木板A上滑动，小物块B和木板A组成的系统动量守恒，小物块B在木板A上滑动的过程中，由小物块B和木板A组成的系统减小的机械能转化为内能，由功能关系列式即可求解．

解答：解：（1）小球由C点下落的高度h=R（1-sinθ）=

R

2

①
由机械能守恒定律得：mgh=

1

2

m

v

2 0

②
由①②式，解得：v0=

gR

小球在最低点，有：F-mg=m

v 2 0

R

③
F=2mg=20（N）                                    
由牛顿第三定律得：小球对细绳的拉力为F′=F=20N，方向竖直向下 
（2）小球与小物块B在碰撞后，小球速度为v₁，B的速度为v₂，
则：mv₀=mv₁+mv₂                                  ④

1

2

m

v

2 0

=

1

2

m

v

2 1

+

1

2

m

v

2 2

⑤
解得：v₁=0   v₂=v₀=

gR

（小球与小物块B质量相等，碰撞后速度交换．）
之后，小物块B在木板A上滑动，小物块B和木板A组成的系统动量守恒，设B滑到木板A最右端时速度大小为v，则：mv_B=（M+m）v  ⑥
小物块B在木板A上滑动的过程中，由小物块B和木板A组成的系统减小的机械能转化为内能，由功能关系得：μmgL=

1

2

m

v

2 2

-

1

2

(M+m)

v

2

⑦
联立以上几式，解得：L=

M v 2 2

2μg(M+m)

=

MR

2μ(M+m)

代入数据解得：L=1m                                 
答：（1）小球运动到最低点时对细绳的拉力大小为20N，方向竖直向下；
（2）木板长度L至少为1m时小物块才不会滑出木板．

点评：本题主要考查了机械能守恒定律、动量守恒定律及功能关系的直接应用，要正确分析物体运动的过程，难度适中．