Question

如图所示，是某公园设计的一种游乐设施，所有轨道均光滑，AB面与水平面成一定夹角．一无动力小滑车质量为m=10kg，沿斜面轨道由静止滑下，然后滑入第一个圆形轨道内侧，其轨道半径R=2.5m，不计过B点的能量损失，根据设计要求，在圆轨道最低点与最高点各放一个压力传感器，测试小滑车对轨道的压力，并通过计算机显示出来．小滑车到达第一圆轨道最高点C处时刚好对轨道无压力，又经过水平轨道滑入第二个圆形轨道内侧，其轨道半径r=l．5m，然后从水平轨道上飞入水池内，水面离水平轨道的距离为h=5m．g取10m/s²，小滑车在运动全过程中可视为质点．求：
（1）小滑车在第一圆形轨道最高点C处的速度v_C的大小；
（2）在第二个圆形轨道的最高点D处小滑车对轨道压力N的大小；
（3）若在水池内距离水平轨道边缘正下方的E点s=12m处放一气垫（气垫厚度不计），要使小滑车既能安全通过圆轨道又能落到气垫之上，则小滑车至少应从离水平轨道多高的地方开始下滑？

Answer 1

分析：（1）小车在C点对轨道恰好无压力，根据重力恰好等于向心力列式求解；
（2）对从C到D过程运用动能定理列式求解D点速度，再根据在D点时重力和弹力的合力提供向心力列式求解弹力大小；
（3）根据平抛运动的分位移公式列式求出平抛运动的初速度，再对从开始到平抛起点的过程运用动能定理列式求解．

解答：解：（1）在C点：mg=m

v2

R

解得：v=5m/s
即小车通过C点的速度为5m/s．
（2）从C点到D点过程，根据动能定理，有
mg(2R-2r)=

1

2

m

v

2 D

-

1

2

m

v

2

在D点：mg-N=m

v 2 D

r

解得N=333.3N
由牛顿第三定律知，小车对轨道的压力为333.3N．
（3）小滑车要安全通过圆形轨道，在平台上的速度至少为v₀，从释放到平抛初位置过程，根据动能定理，有
mgH=

1

2

mv

2 0

    ①
从开始释放到C点过程，根据动能定理，有
mg(H-2R)=

1

2

mv

′

2 C

        ②
要能通过圆轨道，有
v′_C＞5m/s        ③
对于平抛运动，有
h=

1

2

gt2          ④
S=v₀t          ⑤
由①②③④⑤解得
H=7.2m
即小滑车至少应从离水平轨道7.2m的地方开始下滑．

点评：本题关键要分析清楚小车的运动情况，然后根据向心力公式、牛顿第二定律、平抛运动分位移公式、动能定理列式求解；切入点在于小球恰好通过C点．