Question

7．如图所示是位于X星球表面的竖直光滑圆弧轨道，宇航员实验发现，当位于轨道最低点的小球速度至少为v₀时，才能在竖直面内做完整的圆周运动．已知圆弧轨道半径为r，X星球的半径为R，万有引力常量为G．求：（结果可以用根式表示）
（1）X星球表面重力加速度；
（2）X星球的第一宇宙速度；
（3）环绕X星球的轨道半径为2R的卫星的周期．

Answer 1

分析 （1）小球刚好能在竖直面内做完整的圆周运动，有重力充当向心力，小球在光滑圆弧轨道运动的过程中，只有重力做功，机械能守恒，根据机械能守恒得出重力加速度的大小．
（2）根据万有引力提供向心力，以及万有引力等于重力，求第一宇宙速度
（3）根据万有引力提供向心力，以及万有引力等于重力，联立解出环月卫星的周期

解答 解：（ 1）设X星球表面重力加速度为g，质量为M，小球刚好能做完整的圆周运动；则小球在最高点时，仅由重力提供向心力；根据牛顿第二定律有：
mg=$m\frac{{V}^{2}}{r}$
小球从轨道最低点到最高点的过程中，由动能定理有：
-mg×$2r=\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{V}_{0}^{2}$
联立两式可得：g=$\frac{{V}_{0}^{2}}{5r}$
（2）在X星球发射卫星的最小速度为月球第一宇宙速度
$\frac{GM{m}_{1}}{{R}^{2}}={m}_{1}\frac{{V}_{min}^{2}}{R}$
又$\frac{GM{m}_{2}}{{R}^{2}}={m}_{2}g$
联立方程解得：V_min=${V}_{0}\sqrt{\frac{R}{5r}}$
（3）环绕X星球的轨道半径为2R的卫星由万有引力提供向心力，有
$\frac{GMm}{4{R}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}2R$

解得T=$4πR\sqrt{\frac{R}{GM}}$$•\sqrt{2}$=$4π\sqrt{\frac{R}{g}}$=$\frac{4π}{{V}_{0}}\sqrt{10Rr}$
答：（1）X星球表面重力加速度$\frac{{V}_{0}^{2}}{5r}$；
（2）X星球的第一宇宙速度${V}_{0}\sqrt{\frac{R}{5r}}$；
（3）环绕X星球的轨道半径为2R的卫星的周期$\frac{4π}{{V}_{0}}\sqrt{10Rr}$

点评 解决本题的关键会运用机械能守恒定律定律解题，知道小球在内轨道运动恰好过最高点的临界条件．以及掌握万有引力提供向心力和万有引力等于重力