Question

6．站在地球赤道某地的人，日落后4小时的时候，在自己头顶正上方观察到一颗恰好有阳光照亮的人造地球卫星，已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，太阳光可认为是平行光．若该卫星在赤道所在平面内做匀速圆周运动，求：
（1）该人造卫星的轨道半径；
（2）人造卫星的运动周期．

Answer 1

分析 （1）根据卫星与地球之间的位置关系图，根据几何关系确定卫星的轨道半径．
（2）由万有引力提供向心力即可求出周期．

解答 解：（1）卫星与地球之间的位置关系如图，O是地心，人开始在A点，这时刚好日落，经过4小时，地球转了60°，即：∠AOC=60°，
此时人已经到了B点，卫星在人的正上方C点，太阳光正好能照到卫星，所以根据∠AOC=60°就能确定卫星的轨道半径为：r=OC=$\frac{AO}{cos60°}$=2OA=2R．
（2）由万有引力提供向心力得：$\frac{GMm}{{r}^{2}}=\frac{m•4{π}^{2}r}{{T}^{2}}$
在地球表面：$\frac{GMm}{{R}^{2}}=mg$
联立解得：T=$4π\sqrt{\frac{2R}{g}}$
答：（1）该人造卫星的轨道半径为2R；
（2）人造卫星的运动周期为$4π\sqrt{\frac{2R}{g}}$．

点评 这个题的突破口是“恰能在日落后4小时的时候，恰观察到一颗自己头顶上空被阳光照亮的人造地球卫星”，运用几何方法作出卫星的位置，求出这颗卫星的轨道半径是解题的关键．