Question

如图所示，光滑水平面上，质量为m的小球B连接着轻质弹簧，处于静止状态，质量为2m的小球A以大小为v₀的初速度向右运动，接着逐渐压缩弹簧并使B运动，过一段时间，A与弹簧分离．
（1）当弹簧被压缩到最短时，弹簧的弹性势能Ep多大？
（2）若开始时在B球的右侧，某位置固定一挡板，在A球与弹簧未分离前使B球与挡板碰撞，并在碰后立刻将挡板撤走，设B球与挡板的碰撞时间极短，碰后B球的速度大小不变但方向相反，欲使此后弹簧被压缩到最短时，弹性势能达到第（1）问中Ep的2.5倍，必须使B球的速度多大时与挡板发生碰撞？

Answer 1

分析：（1）当弹簧压缩至最短时，两球的速度相等，根据系统的动量守恒和机械能守恒列式，即可求出弹簧的弹性势能E_P．
（2）设B球与挡板碰撞时，A球速度为v₁、B球速度为v₂（均向右），根据动量守恒列式，B球与挡板刚碰后，A球速度为v₁、B球速度为-v₂（向左），此后弹簧压缩至最短时有共同速度，再由系统的动量守恒和机械能守恒列式，即可得解．

解答：解：（1）当弹簧压缩到最短时，A、B的速度相等，2mv₀=3mv₁ ①
A和B的共同速度v₁=

2

3

v₀
根据系统的机械能守恒得

1

2

?2mv₀²=

1

2

?3mv₁²+Ep          ②
解得 此时弹簧的弹性势能Ep=

1

3

mv₀²                    ③
（2）B碰挡板时没有机械能损失，碰后弹簧被压缩到最短时，A、B速度也相等，

1

2

?2mv₀²=

1

2

?3mv₂²+Ep′④
   Ep′=2.5Ep=

5

6

mv₀²
解得v₂=±

v0

3

⑤
取向右为正方向．若v₂=

v0

3

，则表示B球与板碰撞后，A、B此时一起向右运动．B球与板碰撞前B与A动量守恒
 2mv₀=2 mv_A+mv_B⑥
B球与板碰撞后B与A动量也守恒
  2mv_A-mv_B=3m?

v0

3

⑦
解得   v_A=

3

4

v₀，v_B=

v0

2

因为此时v_A＞v_B，弹簧还将继续缩短，所以这种状态是能够出现的，
若v₂=-

v0

3

，则表示B球与板碰撞后A、B向左运动，B球与板碰撞后B和A动量守恒
  2mv_A-mv_B=3mv₂=-3m?

v0

3

 ⑧
由⑥⑧可得，v_A=

v0

4

，v_B=

3

2

v₀                    
此时A、B球的总动能E_K总=

1

2

?2mv_A²+

1

2

mv_B²=m（

v0

4

）²+

1

2

（

3

2

v₀）²=

19

16

mv₀² 
E_K总大于A球最初的动能mv₀²，因此v_B=

3

2

v₀这种状态是不可能出现的，因此必须使B球在速度为

v0

2

时与挡板发生碰撞．   ⑨
答：
（1）当弹簧被压缩到最短时，弹簧的弹性势能Ep为

1

3

mv₀²．
（2）必须使B球在速度为

v0

2

时与挡板发生碰撞．

点评：本题是含有弹簧的问题，要分析物体的运动过程，抓住系统的动量守恒和机械能守恒进行分析，综合性较强．