Question

如图，阻值不计的光滑金属导轨MN和PQ水平放置，其最右端NQ间距 d 为 l m，左端MP间接有阻值 r 为 4Ω 的电阻，右端NQ与半径 R 为 2m 的光滑竖直半圆形绝缘导轨平滑连接．在平面NQDC的左侧空间中存在竖直向下的匀强磁场 B，平面NQDC的右侧空间中无磁场．一根阻值不计的长为 L=l.2m，质量 m=0.5kg 的金属杆 ab 放在导轨的 EF 处，EF 与MP平行．现杆 ab 以初速度v₀=12m/s 向右在水平轨道上做匀减速运动，进入半圆形导轨后恰能通过最高位置 CD，并恰又落到 EF 位置．求：
（l）杆ab 刚进入半圆形导轨时，对导轨的压力；
（2）EF 到NQ的距离；
（3）磁感应强度 B 的大小；
（4）试简要说明杆 ab 以初速度v₀ 向右在水平轨道上做匀减速运动的合理性．

Answer 1

分析：（1）金属杆ab恰能通过最高位置 CD时，由重力提供向心力，根据牛顿第二定律可求出经过最高点的速度．棒从NQ到最高点的过程机械能守恒，则可求出棒通过NQ时的速度．棒经NQ时，由重力和轨道的支持力提供其向心力，由牛顿运动定律求出杆ab刚进入半圆形导轨时对导轨的压力．
（2）ab 离开半圆形导轨后做平抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动，由下落的高度为2R和最高点的速度结合可求出EF到NQ的距离；
（3）杆 ab 做匀减速运动，由运动学公式、牛顿第二定律和安培力结合可求得B．
（4）杆向右运动时，受到向左的安培力作用，使杆的运动速度v减小，而随着轨道宽度变大，L变大，由F_A=

B2L2v

R

可知，杆所受的安培力有可能不变，则棒可以做匀减速运动．

解答：解：（ 1 ）设杆ab刚进入半圆形导轨时速度为v₁，到达最高位置时速度为v₂，由于恰能通过最高点，则：
   mg=

mv22

R

得：v2=2

5

m/s
杆ab进入半圆形导轨后，由于轨道绝缘，无感应电流，则根据机械能守恒定律：
  

1

2

m

v

2 1

=mg?2R+

1

2

m

v

2 2

解得：v₁=10m/s
设在最低点时半圆形轨道对杆ab的支持力为 N
   N-mg=

m v 2 1

R

得：N=30N 
（ 2 ）ab离开半圆形导轨后做平抛运动，设经时间t落到水平导轨上
由

1

2

gt2=2R得，t=

2 5

5

S
则EF与NQ的水平距离 S=v₂t=4 m   
（3）设杆ab做匀减速运动的加速度为a
 

v

2 1

-

v

2 0

=2as得：a=-5.5m/s²    
对杆刚要到达NQ位置处进行分析：
  由F_A=BId、I=

Bdv1

r

得
 B=

mar d2v1

=

1.1

T≈1.05T
（4）杆向右运动时，受到向左的安培力作用，使杆的运动速度v减小，而随着轨道宽度变大，L变大，由F_A=

B2L2v

R

可知，杆所受的安培力有可以不变，故杆作匀减速运动是合理的．
答：
（l）杆ab刚进入半圆形导轨时，对导轨的压力为30N；
（2）EF 到NQ的距离为4m；
（3）磁感应强度B的大小为1.05T；
（4）杆向右运动时，受到向左的安培力作用，使杆的运动速度v减小，而随着轨道宽度变大，L变大，由F_A=

B2L2v

R

可知，杆所受的安培力有可以不变，故杆作匀减速运动是合理的．

点评：本题的突破口是棒恰能通过最高位置CD，达到临界状态，由牛顿第二定律可求得临界速度．本题是电磁感应中的力学问题，安培力的分析和计算是关键