Question

10．如图所示，传送带与水平地面间的倾角为θ=37°，从A端到B端长度为s=16m，传送带在电机带动下始终以v=10m/s的速度逆时针运动，在传送带上A端由静止释放一个质量为m=0.5kg的可视为质点的小物体，它与传送带之间的动摩擦因数为μ=0.5，假设最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相同，传送带与皮带轮不打滑，g取10m/s²，sin37°=0.6，求：
（1）小物体从A到B所用的时间．
（2）在小物体从A到B的过程中，电动机对传送带做的总功．
（3）在小物体从A到B的过程中，因摩擦而产生的热量．

Answer 1

分析 （1）物块轻轻放到传送带上，受重力、支持力和沿斜面向下的滑动摩擦力，做匀加速直线运动．当速度达到10m/s，由于物体不能跟传送带保持相对静止，受重力、支持力和沿斜面向上的滑动摩擦力，做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律求出两段匀加速直线运动的加速度，根据运动学公式求出运动的总时间．
（2）在小物体从A到B的过程中，对物体和皮带系统运用动能定理列式求解即可．
（3）因摩擦而产生的热量等于摩擦力与相等位移的和的乘积．

解答 解：（1）煤块放上传送带后的加速度：
a₁=$\frac{mgsin37°+μmgcos37°}{m}$=gsin37°+μgcos37°=10m/s²
因为mgsin37°＞μmgcos37°
所以煤炭的速度与传送带速度相等后，做匀加速直线运动，加速度：
a₂=$\frac{mgsin37°-μmgcos37°}{m}$=gsin37°-μgcos37°=2m/s²
速度相等前匀加速运动的时间：
t₁=$\frac{v}{{a}_{1}}$=$\frac{10}{10}$=1s  
位移：
x₁=$\frac{1}{2}$a₁t₁²=$\frac{1}{2}$×10×1m=5m
速度相等后匀加速运动的位移x₂=s-x₁=11m
x₂=vt₂+$\frac{1}{2}$a₂t₂²，代入数据解得：t₂=1s
t=t₁+t₂=2s
故物体在传送带上运动的总时间为2s．
（2）速度相等前，物块相对于传送带向后滑．
x₁′=vt₁=10m
则△x₁=x₁′-x₁=5m
速度相等后，物块相对于传送带向前滑．
x₂′=vt₂=10m
△x₂=x₂-x₂′=1m
物体的末速度为：v_t=v+a₂t₂=10+2×1=12m/s；
设电动机对传送带做的总功为W₁，对物体和皮带系统运用动能定理，有：
W₁+mgSsin37°-μmgcos37°（△x₁+△x₂）=$\frac{1}{2}m{{v}_{t}}^{2}$-0
解得：
W₁=$\frac{1}{2}m{{v}_{t}}^{2}-mgSsin37°+μmgcos37°（△{x}_{1}+△{x}_{2}）$=$\frac{1}{2}×0.5×1{2}^{2}-0.5×10×16×0.6+0.5×0.5×10$×0.8×（5+1）=0；
（3）在小物体从A到B的过程中，因摩擦而产生的热量：Q=f（△x₁+△x₂）=μmgcos37°•（△x₁+△x₂）=0.5×0.5×10×0.8×（5+1）=12J
答：（1）小物体从A到B所用的时间为2s．
（2）在小物体从A到B的过程中，电动机对传送带做的总功为零．
（3）在小物体从A到B的过程中，因摩擦而产生的热量是12J．

点评 解决本题第一问的关键理清物体的运动情况，根据受力去求运动，加速度是联系前后的桥梁．第二问关键对系统运用动能定理列式求解．