题目内容
8．
宇宙中存在由质量相等的四颗星组成的四星系统，四星系统离其他恒星较远，通常可忽略其他星体对四星系统的引力作用．已观测到稳定的四星系统存在两种基本的构成形式：一种是四颗星稳定地分布在边长为a的正方形的四个顶点上，均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，其运动周期为T1，如图（1）所示．另一种形式是有三颗星位于等边三角形的三个项点上，第四颗星刚好位于三角形的中心不动，三颗星沿等边三角形的半径为a的外接圆的圆形轨道运行，其运动周期为T2，如图（2）所示．试求两种形式下，星体运动的周期之比$\frac{{T}_{1}}{{T}_{2}}$？
分析 明确研究对象，对研究对象受力分析，找到做圆周运动所需向心力的来源．
在四颗星组成的四星系统中，其中任意一颗星受到其它三颗星对它的合力提供圆周运动的向心力，
根据F合=mr（$\frac{2π}{T}$）2，求出星体匀速圆周运动的周期．
解答 解：对于第一种形式：
星体在其他三个星体的万有引力作用下围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，其轨道半径半径r1=$\frac{\sqrt{2}}{2}a$
由万有引力定律和向心力公式得：$\frac{G{m}^{2}}{2{a}^{2}}+2\frac{G{m}^{2}}{{a}^{2}}$cos45°=m${r}_{1}\frac{4{π}^{2}}{{{T}_{1}}^{2}}$
解得：T1=2πa$\sqrt{\frac{2a}{（4+\sqrt{2}）Gm}}$
对三绕一模式，三颗绕行星轨道半径均为a，由几何关系得三角形的边长为$\sqrt{3}a$，即r2=$\sqrt{3}$a，由所受合力等于向心力得
$\frac{{2Gm}^{2}}{3{a}^{2}}cos30°+G\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{{T}_{2}}^{2}}a$
解得T2=$2π\sqrt{\frac{（3-\sqrt{3}）{a}^{3}}{2Gm}}$
故：$\frac{{T}_{1}}{{T}_{2}}$=$\frac{\sqrt{21（4-\sqrt{2}）（3+\sqrt{3}）}}{21}$
答：星体运动的周期之比为$\frac{\sqrt{21（4-\sqrt{2}）（3+\sqrt{3}）}}{21}$．
点评 知道在四颗星组成的四星系统中，其中任意一颗星受到其它三颗星对它的合力提供圆周运动的向心力．
万有引力定律和牛顿第二定律是力学的重点，在本题中有些同学找不出什么力提供向心力，关键在于进行正确受力分析．
阅读快车系列答案
| A． | A、B两点场强不相等 | B． | 正电荷从A运动到B，电势能增加 | ||
| C． | 负电荷从A运动到B，电势能增加 | D． | A、B两点电势差为零 |
半径为r的缺口的刚性金属圆环在纸面上固定放置，在圆环的缺口两端引出两根导线接在电容器C两端，板间距为d，如图所示，有一变化的磁场垂直于纸面，规定磁场方向向里为正，磁场的变化规律如图乙所示，则下列说法正确的是（ ）| A． | 第1s内上极板带负电 | |
| B． | 第3s内上极板带负电 | |
| C． | 第2s内板间的电场强度为$E=\frac{{{π_{\;}}{r^2}{B_0}}}{d}$ | |
| D． | 第4s内极板所带电荷量是第2s内极板带电量的2倍 |
2012年6月6日，金星恰好运动到地球和太阳的连线上，如图所示．在地面上看，金星像一个小黑点出现在太阳的一侧，并且慢慢地在几个小时内跨越太阳的圆盘出现在太阳的另一侧，这便是天文学里最罕见的景象之一，被称为“金星凌日”．“金星凌日”每隔N年才会出现一次，若金星与地球绕太阳公转的轨道平面共面，两轨道均可视为圆形，则金星与地球的公转半径之比为（ ）| A． | ${（{\frac{N}{N+1}}）^{\frac{2}{3}}}$ | B． | ${（{\frac{N-1}{N}}）^{\frac{2}{3}}}$ | C． | ${（{\frac{N}{N+1}}）^{\frac{3}{2}}}$ | D． | ${（{\frac{N-1}{N}}）^{\frac{3}{2}}}$ |
| A． | A、B 落地时间相同 | |
| B． | A、B 落地时间差与车辆速度无关 | |
| C． | A、B 落地时间差与车辆速度成正比 | |
| D． | A、B 落地时间差和车辆碰撞瞬间速度的乘积等于△L |
如图所示，水平面内有一个边长为l的正三角形虚线框，框内有垂直纸面竖直向下的匀强磁场，磁感应强度为B；一个边长也为l的正三角形导线框所在平面与磁场方向垂直；虚线框与导线框的一条高落在x轴上，一个顶点重合在O点．在t=0时，使导线框从图示位置从静止开始以恒定加速度a沿x轴正方向移动，直到整个导线框离开磁场区域．以下说法正确的是（ ）| A． | 导线框开始运动的一小段时间内，感应电流的方向为逆时针方向 | |
| B． | 导线框中的电流大小i随其顶点的位移x作线性变化 | |
| C． | 当虚线框与导线框的高完全重合时，感应电动势为$\frac{Bl}{2}$$\sqrt{\sqrt{3}al}$ | |
| D． | 从图示位置到虚线框与导线框的高完全重合的过程中，感应电动势为$\frac{Bl}{2}$$\sqrt{\sqrt{3}al}$ |
质量为2.0kg的物体，以某初速度在水平面上滑行，由于摩擦阻力的作用，其动能随位移变化的情况如图所示，下列判断正确的是（ ）| A． | 物体与水平面间的滑动摩擦力为2.5N | |
| B． | 物体与水平面间的滑动摩擦力为5N | |
| C． | 物体滑行的总时间是2s | |
| D． | 物体滑行的总时间是5s |
| A． | a、b 加速时，物体a 的加速度大于物体 b的加速度 | |
| B． | 20 秒时，a、b 两物体相距最远 | |
| C． | 40 秒时，a、b 两物体速度相等，相距200m | |
| D． | 60 秒时，物体 a在物体 b的前方 |
