Question

12．如图甲所示，以O为原点建立Oxy平面直角坐标系．两平行极板P、Q垂直于y轴且关于x轴对称放置，极板长度和极板间距均为l，第一、四象限有方向垂直于Oxy平面向里的匀强磁场．紧靠极板左侧的粒子源沿x轴向右连续发射带电粒子，已知粒子的质量为m、电荷量为+q、速度为v₀、重力忽略不计，两板间加上如图乙所示的扫描电压（不考虑极板边缘的影响）．带电粒子恰能全部射入磁场．每个粒子穿过平行板的时间极短，穿越过程可认为板间电压不变；不考虑粒子间的相互作用．

（1）求扫描电压的峰值U₀的大小．
（2）已知射入磁场的粒子恰好全部不再返回板间，匀强磁场的磁感应强度B应为多少？所有带电粒子中，从粒子源发射到离开磁场的最短时间是多少？

Answer 1

分析 （1）粒子在电场中做类平抛运动，由题意可知，粒子的运动情况，根据运动的合成与分解可求得的加电压的峰值；
（2）粒子在磁场中做圆周运动，由洛仑兹力充当向心力以及几何关系可求得磁感应强度；
（3）粒子从上边缘飞出时时间最短，则由运动过程可求得各段内所经历的时间，则可求得总时间．

解答 解：（1）所加扫描电压达到峰值时，粒子在电场中的偏转位移为$\frac{l}{2}$，
粒子在电场中做类平抛运动，运动加速度为a=$\frac{q{U}_{0}}{ml}$，时间为t=$\frac{l}{{v}_{0}}$ 
在电场中的偏转位移 y=$\frac{1}{2}$at²=$\frac{q{U}_{0}l}{2m{v}_{0}^{2}}$=$\frac{l}{2}$ 
故所加扫描电压的峰值为 U₀=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{q}$
（2）设粒子从电场射出时的速度偏转角为θ，射入磁场时的速度为v=$\frac{{v}_{0}}{cosθ}$
粒子在磁场中做圆周运动时，洛伦兹力提供向心力qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$  
粒子在磁场中射入与射出点间的距离为△y=2Rcosθ 
联立得△y=$\frac{2m{v}_{0}}{qB}$，即所有粒子在磁场中射入与射出点间距离相同
依题意，从下边缘射出电场的粒子在磁场中做圆周运动后刚好到达电场上边缘，
即△y=l   
故匀强磁场的磁感应强度为B=$\frac{2m{v}_{0}}{ql}$
从电场上边缘射出的粒子整个过程运动时间最短，
粒子速度偏转角正切值tanα=$\frac{at}{{v}_{0}}$=$\frac{q{U}_{0}l}{m{v}_{0}^{2}l}$=1
故α=45° 
粒子在电场中运动的时间为t₁=$\frac{l}{{v}_{0}}$ 
粒子在磁场中运动的最短时间为t₁=$\frac{T}{4}$=$\frac{πm}{2qB}$  
故带电粒子从发射到离开磁场的最短时间是t=t₁+t₂=$\frac{l}{{v}_{0}}$（1+$\frac{π}{4}$）  
答：（1）扫描电压的峰值U₀的大小为$\frac{m{v}_{0}^{2}}{q}$；
（2）已知射入磁场的粒子恰好全部不再返回板间，匀强磁场的磁感应强度B应为$\frac{2m{v}_{0}}{ql}$；所有带电粒子中，从粒子源发射到离开磁场的最短时间是$\frac{m{v}_{0}^{2}}{q}$

点评 本题考查带电粒子在电场和磁场中的运动规律，要注意认真审题，明确题意才能正确分析物理过程，进而确定正确的物理规律求解！如本题中明确说明通过时间极短，粒子通过时电场不变，故粒子即可不同电压下进行加速！