Question

风能是一种环保型的可再生能源．据勘测，我国利用风力资源至少有2.53×10⁵MW，所以风能是很有开发前途的能源．风力发电是将风的动能通过风力发电机转化为电能的过程．某风力发电机将伞气的动能转化为电能的效率η=20%，空气密度ρ=1.3kg/m³，其有效受风面积S=20m²．此风力发电机输出U=250V稳定的直流电压，用它给如图11所示的皮带传送装置的电动机（电动机未画出）供电，输电线电阻不计．已知皮带传送装置的电动机的额定电压U_额=250V，允许消耗电功率的最大值P_电m=500W，线圈电阻R=5.0Ω，在该电动机消耗电功率达到最大值的情况下，电动机及皮带传送装置各部分由于摩擦而损耗的功率与皮带传送装置输出的机械功率之比为1：5．重力加速度g取10m/s²．
（1）求此风力发电机在风速v₁=10m/s时输出的电功率；
（2）求皮带传送装置的电动机消耗电功率达到最大值时，皮带传送装置输出的机械功率；
（3）已知传送带两端A、B之间距离s=10m，高度差h=4.0m．现将一货箱（可视为质点）无初速地放到传送带上A处，经t=1.0s后货箱与传送带保持相对静止，当货箱被运送至B处离开传送带时再将另一个相同的货箱以相同的方式放到A处，如此反复，总保持传送带上有一个（也只有一个）货箱．在运送货箱的过程中，传送带的运行速度始终保持v₂=1.0m/s不变．若要保证皮带传送装置的电动机所消耗电功率始终不超过P_电m=500W，货箱的质量应满足怎样的条件．

Answer 1

分析：（1）在时间t内，通过风力发电机叶片的空气的动能转化为电能，根据能量守恒定律列式求解即可；
（2）（1）根据电动机的额定功率与额定电压，求出正常工作时的电流．电动机的自身消耗的功率P_R=I²R，机械功率为P_机械=P_m-I²R．
（3）货箱在传送带上加速运动时，带动传送带运行的电动机需要消耗较大的电功率，所以在货箱加速过程中电动机如果不超过其允许消耗的最大功率，匀速运行过程中就不会超过其允许消耗的最大电功率．分析货箱的运动情况，由运动学公式求出货箱匀加速直线运动的位移和上升的高度，即可求出货箱增加的机械能和内能，而货箱增加的机械能和系统增加的内能之和应小于等于P_机械t，列式，可求出货箱质量的最大值．

解答：解：（1）1s内吹到风力发电机有效面积上空气的体积V=Sv₁
这些空气所具有的动能E_k=

1

2

ρVv₁²
风力发电机输出的电功率  P=

ηEK

t

=

ηρS v 3 1

2t

=2.6×10³W
（2）设带动传送带的电动机消耗电功率最大时通过它的电流为I，此时电动机输出功率为P_输出，皮带传送装置输出的机械功率为P_机械．
则I=

P电m

U额

=2.0A
P_输出=P_电m-I²R=480W
根据题意可知P_机械=

5

6

P_输出=400W
（3）设货箱在恒力作用下做匀加速直线运动的位移为s_x，上升的高度为h_x．
根据匀加速运动公式有s_x=

1

2

v₂t=0.50m，
根据几何关系解得h_x=0.20m
货箱在传送带上加速运动时，带动传送带运行的电动机需要消耗较大的电功率，所以在货箱加速过程中电动机如果不超过其允许消耗的最大功率，匀速运行过程中就不会超过其允许消耗的最大电功率
设货箱质量为m，货箱被加速的过程中其机械能增加量为E，由于货箱与传送带的摩擦产生的热量为Q．E=E_p+E_k=mgh_x+

1

2

mv₂²
设货箱与传送带之间的摩擦力为f，对于货箱在传送带上被加速的过程，
根据动能定理有 fs_x-mgh_x=

1

2

mv₂²．
在货箱加速运动过程中，传送带的位移s_带=v₂t=1.0m，所以货箱与传送带之间的相对位移△s=s_带-s_x=0.50m，根据功能关系Q=f?△s
联立解得Q=

mv22+2mghx

2sx

△s
为使电动机工作过程中不超过允许的最大值，应有E_p+E_k+Q小于等于P_机械t，即
mgh_x+

1

2

mv₂²+

mv22+2mghx

2sx

△s≤P_机械t
解得m=

2P机械tsx

(v22+2ghx)(sx+△s)

≤80kg，即货箱质量不得大于80kg
答：（1）此风力发电机在风速v₁=10m/s时输出的电功率为2.6×10³W；
（2）皮带传送装置的电动机消耗电功率达到最大值时，皮带传送装置输出的机械功率为400W；
（3）货箱的质量不得大于80kg．

点评：解决本题的关键是分析能量如何变化的，根据能量守恒定律列式，再结合电路知识和运动学公式进行求解．