Question

如图所示，光滑的平行金属导轨CD与EF间距为L=1m，与水平面夹角为θ＝30 °，导轨上端用导线CE连接(导轨和连接线电阻不计)，导轨处在磁感应强度为B＝0.1T、方向垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，一根电阻为R＝1Ω的金属棒MN两端有导电小轮搁在两导轨上，棒上有吸水装置P，取沿导轨向下为x轴正方向。坐标原点O在CE中点，开始时棒处在x＝0位置(即与CE重合)，棒的起始质量不计。当棒自静止开始下滑时，便开始吸水，质量逐渐增大，设棒质量的增加量与位移x的平方根成正比，即m＝k，k为一常数，k＝0.1 kg·m。
(1)猜测金属棒下滑过程中做的是什么性质的运动，并加以证明。
(2)求金属棒下滑2m位移时速度为多大？

Answer 1

解：(1)由于棒从静止开始运动，因此首先可以确定棒开始阶段做加速运动，如图所示

棒在下滑过程中沿导轨方向有向下的重力分力mgsinθ和向上的安培力F。由于m随位移x增大而增大，所以mgsinθ是一个变力；而安培力与速度有关，也随位移增大而增大。如果两个力的差值恒定，即合外力是恒力的话，棒做匀加速运动。不妨假设棒做的是匀加速运动，且下滑位移x时的加速度为a
安培力F＝BIL，I＝，所以F＝
根据牛顿第二定律，有
mgsinθ－F＝ma
有mgsinθ－＝ma
棒做匀加速运动，则瞬时速度
v＝
由于m＝k，代入后得到
kgsinθ－＝k·a
消去后得到kgsinθ－－ka＝0①
从上述方程可以看出a的解是一个定值，与位移x无关，这表明前面的假设成立，棒的运动确实是匀加速运动
(2)将题目给出的数据代入①式得
0．1×10×0.5－－0.1a＝0
化简得10a＋·－50＝0
令y＝，则上式可写作10y²＋y－50＝0
解得y＝2.17，即a＝y²＝4.71m/s²
根据匀变速运动规律
v_x＝＝m/s＝4.34m/s