Question

3．2013年10月3日发生天王星“冲日”现象，此时天王星、地球、太阳位于同一条直线上，地球和天王星距离最近，每到发生天王星“冲日”，就是天文学家和天文爱好者观测天王星最佳的时机．用天文望远镜可以观察到这颗美丽的淡蓝色的天王星．若把地球、天王星围绕太阳的运动当做匀速圆周运动，并用T₁、T₂分别表示地球、天王星绕太阳运动的周期，则到下一次天王星冲日需要的时间为（　　）

• A． T₂-T₁
• B． T₂+T₁
• C． $\frac{{T}_{1}•{T}_{2}}{{T}_{2}-{T}_{1}}$
• D． $\frac{{T}_{1}•{T}_{2}}{{T}_{2}+{T}_{1}}$

Answer 1

分析 研究天王星、地球绕太阳做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，列出等式表示出角速度．
天王星、地球绕太阳做匀速圆周运动，当地球转过的角度与天王星转过的角度之差等于2π时，再一次相距最近．

解答 解：研究天王星、地球绕太阳做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，有：
$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=mω²r
ω=$\sqrt{\frac{GM}{{r}^{3}}}$，
它们再一次相距最近时，一定是地球比天王星多转了一圈，有：
ω₁t-ω₂t=2π
ω₁=$\sqrt{\frac{GM}{{r}_{1}^{3}}}$，ω₂=$\sqrt{\frac{GM}{{r}_{2}^{3}}}$
又：
$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$r
T=2π$\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$，
解得：t=$\frac{2π}{\sqrt{\frac{GM}{{r}_{1}^{3}}}-\sqrt{\frac{GM}{{r}_{2}^{3}}}}$=$\frac{{T}_{1}•{T}_{2}}{{T}_{2}-{T}_{1}}$，
故选：C．

点评 本题考查万有引力定律和圆周运动知识的综合应用能力．向心力的公式选取要根据题目提供的已知物理量或所求解的物理量选取应用．