Question

17．用万有引力定律证明：对一个行星的卫星来说，$\frac{{R}^{3}}{{T}^{3}}$是一个恒量．其中R是卫星的轨道半径，T是卫星的运行周期．

Answer 1

分析 根据恒星对行星的万有引力提供行星做圆周运动所需的向心力，列出方程即可求证

解答 证明：行星与恒星之间的万有引力F=$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$
向心力F=m$\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}R$
根据万有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}R$
得$\frac{4{π}_{\;}^{2}}{GM}=\frac{{T}_{\;}^{2}}{{R}_{\;}^{3}}$       因为G、M一定      因此$\frac{{R}_{\;}^{3}}{{T}_{\;}^{2}}$是一恒量
证毕

点评 本题掌握一个重要的关系：恒星对行星的万有引力提供行星做圆周运动所需的向心力，注意选择合适的向心力公式．