Question

19．若把甘肃省嘉峪关处的地理经度和地理纬度近似取为东经98°和北纬α=40°，已知地球半径R、地球自转周期T₀、地球的卫星月球的轨道半径为r、月球绕地球公转周期为T和光速c．试求定点于东经98°上空的地球同步通信卫星发出的微波信号传到嘉峪关处的地面卫星信号接收站所需的时间t（要求用题目给定的已知量的符号表示）．

Answer 1

分析 微波信号传播速度等于光速c，求时间须先求出卫星与嘉峪关的距离．综合运用同步卫星的动力学关系和g=G$\frac{M}{{R}^{2}}$，解出卫星距地心距离，再结合地球知识，作出相应的几何图形，运用数学知识求出卫星到嘉峪关的距离，即可求时间．

解答 解：设m为卫星质量，M为地球质量，r为卫星到地球中心的距离，ω为卫星绕地心转动的角速度，
由万有引力定律和牛顿定律有，G $\frac{Mm}{{r}^{2}}$=mrω² ①
式中G为万有引力恒量，因同步卫星绕地心转动的角速度ω与地球自转的角速度相等，
有ω=$\frac{2π}{T}$ ②
在地球表面上，有 G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg
得GM=gR² ③
设嘉峪关到同步卫星的距离为L，如图1所示，由余弦定理
   L=$\sqrt{{r}^{2}+{R}^{2}-2rRcosα}$ ④
所求时间为  t=$\frac{L}{c}$      ⑤
由以上各式得
  t=$\frac{\sqrt{{R}^{2}+{r}^{2}\root{3}{\frac{{T}_{0}^{4}}{{T}^{4}}}-2r{R}^{3}\root{3}{\frac{{T}_{0}^{2}}{{T}^{2}}cosα}}}{c}$
答：该同步卫星发出的微波信号传到嘉峪关处的接收站所需的时间为$\frac{\sqrt{{R}^{2}+{r}^{2}\root{3}{\frac{{T}_{0}^{4}}{{T}^{4}}}-2r{R}^{3}\root{3}{\frac{{T}_{0}^{2}}{{T}^{2}}cosα}}}{c}$．

点评 解决本题关键要掌握同步卫星的条件，分析向心力的来源，运用万有引力定律、牛顿第二定律和几何关系等等结合进行求解．