Question

7．在平面直角坐标系xoy内，第一、第三象限有大小相等、垂直平面向里的匀强磁场，第二象限有平行于平面沿-x方向的匀强电场E₂，第四象限有平行于平面沿+x方向的匀强电场E₁．一质量为m，电量为-q的带电粒子（不计重力），从x轴上的（l，0）点以速度v₀沿-y方向进入第四象限的电场中，后由x轴上的某点D沿+y方向进入第二象限的电场中，最后从x轴上的某点Q沿-y方向再度进入第四象限．已知E₁=$\frac{3m{{v}_{0}}^{2}}{2ql}$，E₂=2E₁．求：
（1）磁感应强度B的大小；
（2）带电粒子从第一象限进入第四象限时Q点的坐标；
（3）带电粒子第一次经过全部四个象限的时间．

Answer 1

分析 （1）粒子在电场中做类平抛运动，在磁场中做匀速圆周运动，应用类平抛运动规律与牛顿第二定律可以求出磁感应强度．
（2）粒子在电场中做类平抛运动，应用类平抛运动规律与几何知识可以求出粒子坐标位置．
（3）求出粒子在电场与磁场中的运动时间，然后求出粒子总的运动时间．

解答 解：粒子运动轨迹如图所示：
（1）带电粒子在第四象限中做类平抛运动，由$\frac{1}{2}•\frac{3m{{v}_{0}}^{2}}{2ql}•\frac{q}{m}{{t}_{1}}^{2}=l$
得：${t}_{1}=\sqrt{\frac{4{l}^{2}}{3{{v}_{0}}^{2}}}=\frac{2\sqrt{3}l}{3{v}_{0}}$
${v}_{x}=\frac{3m{{v}_{0}}^{2}}{2ql}•\frac{q}{m}{{t}_{1}}^{\;}=\sqrt{3}{v}_{0}$
速度为：${v}_{1}=\sqrt{{{v}_{0}}^{2}+{{v}_{x}}^{2}}=2{v}_{0}$
v₁与x轴的夹角有：$ta{nθ}_{1}=\frac{{v}_{0}}{{v}_{x}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
即：θ₁=30°
$QA={v}_{0}{t}_{1}=\frac{2\sqrt{3}}{3}l$
$O{O}_{2}=OAtan30°=\frac{2}{3}l$
圆周半径${O}_{2}A=2O{O}_{2}=\frac{4}{3}L$
故$\frac{4l}{3}=\frac{m2{v}_{0}}{Bq}$
解得：$B=\frac{3m{v}_{0}}{2ql}$
（2）由几何知识可知：OD=2l，在第二象限中做类平抛运动，由$\frac{1}{2}•\frac{3m{{v}_{0}}^{2}}{ql}•\frac{q}{m}{{t}_{2}}^{2}=2l$
得：${t}_{2}=\sqrt{\frac{4{l}^{2}}{3{{v}_{0}}^{2}}}=\frac{2\sqrt{3}l}{3{v}_{0}}$
${v}_{x}′=\frac{3m{{v}_{0}}^{2}}{ql}•\frac{q}{m}{{t}_{1}}^{\;}=2\sqrt{3}{v}_{0}$
${v}_{2}=\sqrt{{{v}_{1}}^{2}+{{v}_{x}′}^{2}}=4{v}_{0}$ 
方向与x轴正向成θ₂=30°
$GO=2×2ltan30°=\frac{4\sqrt{3}l}{3}$
圆周半径${O}_{3}G=\frac{GO}{cos30°}=\frac{8}{3}l$
$O{O}_{3}=GOtan30°=\frac{4}{3}l$
故：OQ=4l，即Q点的坐标为（4l，0）；
（3）从P点到Q的时间为：t=2×$\frac{120°}{360°}×\frac{2πm}{Bq}+{t}_{1}+{t}_{2}=\frac{4l}{{9v}_{0}}（3\sqrt{3}+2π）$．
答：（1）磁感应强度B的大小为$\frac{3m{v}_{0}}{2ql}$；
（2）带电粒子从第一象限进入第四象限时Q点的坐标为（4l，0）；
（3）带电粒子第一次经过全部四个象限的时间为$\frac{4l}{{9v}_{0}}（3\sqrt{3}+2π）$．

点评 本题考查了粒子在电场与磁场中的运动，分析清楚粒子运动过程、应用类平抛运动规律、牛顿第二定律即可正确解题，解题时注意几何知识的应用．